1. Кинематика механических колебаний
1.1. Основные формулы и соотношения
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
,
(1.1)
где
– смещение колеблющейся материальной
точки от положения равновесия;
– момент времени;
– соответственно амплитуда, циклическая
частота и начальная фаза колебания;
– фаза колебания в момент времени
.
Циклическая частота колебаний выражается формулами
или
,
(1.2)
где
– частота колебаний;
–
период колебаний.
Период колебаний различных колебательных систем:
– пружинный маятник:
,
(1.3)
где
– масса материальной точки;
– жесткость пружины;
– математический маятник :
, (1.4)
где
– длина маятника;
– ускорение свободного падения;
– физический маятник:
, (1.5)
где
– момент инерции колеблющегося тела
относительно оси колебаний;
– расстояние центра масс маятника
от оси колебаний;
– приведенная длина физического
маятника. Приведенная формула является
точной для случая бесконечно малых
амплитуд. При конечных амплитудах эта
формула дает приближенные результаты;
– крутильные колебания тела, подвешенного на упругой нити:
,
(1.6)
где – момент инерции тела относительно оси совпадающей с упругой нитью; – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания, определяется как
.
(1.7)
Ускорение при гармоническом колебании выражается как
.
(1.8)
1.2. Примеры решения задач
Задача 1. Материальная точка совершает
гармонические колебания с периодом
= 2 с. Амплитуда колебаний
= 4 см. Определить скорость точки
в момент времени, когда смещение равно
= 2 см (2 10-2 м.
Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид:
,
(1.9)
а скорость определяется выражением (1.7)
.
(1.10)
Чтобы выразить скорость через смещение
,надо исключить из формул (1.9) и (1.10) время.
Для этого возведем оба уравнения в
квадрат, разделим первое на
,
второе на
и сложим
.
Решив это уравнение относительно
скорости
,
найдем
.
Проверим размерность
.
Выполнив вычисления по этой формуле,
получим
.
Знаки плюс и минус определяют
направление скорости относительно оси
.
1.3. Задачи
101 – 115. Точка массой 0,1 кг совершает
колебания по закону
.
Определить неизвестные величины,
значения которых в табл.1.1 приведены
наклонным шрифтом. Записать уравнение
колебаний точки.
Обозначения в табл.1.1:
– амплитуда колебаний;
– период колебаний;
–
начальная фаза;
– момент времени;
– смещение в данный момент времени;
– ускорение;
и
– соответственно, кинетическая,
потенциальная и полная энергии
колеблющейся точки.
Таблица 1.1
N |
А, м |
Т, с |
о , о |
х, м |
t, мс |
v, м/с |
a, м/с2 |
Eк, Дж |
Еn, Дж |
E, Дж |
101 |
0,231 |
2 |
30 |
-0,2 |
1000 |
0,363 |
1,972 |
0,0066 |
0,0194 |
0,026 |
102 |
0,1 |
1 |
0 |
0,06 |
148 |
-0.502 |
-2,369 |
0,0126 |
0,0071 |
0,0187 |
103 |
0,2 |
0,05 |
0 |
0,2 |
100 |
0 |
3155 |
0 |
31,55 |
31,55 |
104 |
1,593 |
0,5 |
12 |
1,379 |
50 |
-10 |
217,5 |
10 |
30 |
40 |
105 |
2 |
0,05 |
90 |
0 |
0 |
251,2 |
0 |
3155 |
0 |
3155 |
106 |
1 |
0,667 |
-45 |
1 |
167 |
0 |
-9,42 |
0 |
4,437 |
4,437 |
107 |
5 |
1 |
-9/10 |
1,545 |
1250 |
29,86 |
60,93 |
44,58 |
4,71 |
49,3 |
108 |
0,1 |
0,1 |
/6 |
0,0025 |
17; 66 |
±6,27 |
10 |
1,971 |
0,0009 |
1,972 |
109 |
0,1 |
0,3 |
0 |
0,05 |
50 |
1,013 |
21,91 |
0,164 |
0,055 |
0,219 |
110 |
0,1 |
0,449 |
0 |
-0,05 |
262 |
2,797 |
9,8 |
0,0245 |
0,0735 |
0,098 |
111 |
4,36 |
0,899 |
0 |
2,479 |
150 |
29,99 |
120,9 |
45 |
15 |
60 |
112 |
3,536 |
2,19 |
0 |
0,2 |
359 |
2,5 |
5,476 |
1,5 |
1,5 |
3 |
113 |
0,01 |
0,1 |
0 |
0,007 |
13 |
0,449 |
27,64 |
0,0103 |
0,0097 |
0,02 |
114 |
0,2 |
0,5 |
0 |
0 |
125 |
2,513 |
0 |
0,316 |
0 |
0,316 |
115 |
0,1 |
0,1 |
/3 |
0,05 |
150 |
5,44 |
197,4 |
1,477 |
0,493 |
1,97 |
234
Таблица 1.2
N |
t, c |
x, м |
A, м |
T, с |
vmax, м/с |
amax, м/с2 |
v, м/с |
a, м/с2 |
116 |
1 |
0,2 |
0,2 |
0,4 |
0,314 |
0,493 |
0 |
0,493 |
117 |
0,1 |
0,197 |
0,637 |
2 |
2,0 |
6,28 |
1,902 |
1,942 |
118 |
1,5 |
0,3 |
0,424 |
4 |
0,666 |
1,045 |
-0,471 |
-0,739 |
119 |
0,167 |
0,05 |
0,1 |
2 |
0,314 |
0,986 |
0,272 |
0,493 |
120 |
0,583 |
0,1 |
0,5 |
1 |
3,14 |
19,72 |
1,177 |
3,944 |
121 |
0,998 |
0,173 |
0,2 |
6 |
0,209 |
0,219 |
0,105 |
0,189 |
122 |
2 |
0,52 |
0,6 |
6 |
0,628 |
0,657 |
0,314 |
0,57 |
123 |
0,01 |
0,5 |
0,8 |
1 |
5,024 |
31,55 |
5,017 |
-4,93 |
124 |
0,017 |
0,199 |
0,2 |
0,067 |
3,0 |
45 |
-2,996 |
44,78 |
125 |
6 |
0,3 |
0,315 |
5 |
0,396 |
0,497 |
0,122 |
0,473 |
126 |
0,222 |
0,174 |
0,51 |
4 |
0,8 |
1,256 |
1,18 |
0,344 |
127 |
1,85 |
0,548 |
0,587 |
6 |
0,614 |
0,64 |
-0,22 |
0,6 |
128 |
2 |
0,4 |
0,6 |
17,24 |
0,218 |
0,079 |
0,163 |
0,053 |
129 |
3 |
1,241 |
1,433 |
9 |
1,0 |
0,698 |
0,5 |
0,605 |
130 |
0,1 |
0,1 |
0,413 |
2,564 |
1,012 |
2,477 |
0,981 |
0,6 |
116 – 130. Материальная точка совершает
гармонические колебания по закону
.
Вычислить неизвестные величины, указанные
в табл.1.2 наклонным шрифтом, и записать
уравнение колебаний. (
и
– максимальное значение скорости и
ускорения;
и
– соответственно значения смещения,
скорости и ускорения в момент времени
).