6. Негармонические колебания. Нелинейные преобразования колебаний. Нелинейные осцилляторы

6.1. Основные формулы и соотношения

 Периодическим называется процесс изменения переменного параметра (перемещения, скорости, силы тока, напряжения и др. физической величины) , как функции времени , для которого справедливо равенство

(6.1)

где – любое целое число, а , являющееся конечным интервалом времени, называется периодом. Простейшим периодическим процессом является гармоническое или простое колебание вида

, (6.2)

где величины , и – постоянные амплитуда, период, частота, циклическая частота и начальная фаза колебания. Этот процесс называют монохроматическим колебанием. Заимствованный из оптики термин подчеркивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной спектральной линии. Если указанные величины медленно меняются со временем, колебание вида (6.2) называют квазигармоническим. Таковыми являются все реальные колебательные процессы. Гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при ее линейных преобразованиях: умножении и делении на константу, дифференцировании и интегрировании.

 Из теории тригонометрических рядов [1] следует, что любую интегрируемую периодическую функцию времени (6.1) можно выразить в виде суммы гармонических колебаний (ряда Фурье)

.(6.3)

Для всех значений , включая ,

, (6.4)

, (6.5)

; (6.6)

. (6.7)

Если колебание представляет собой четную относительно функцию, т.е. , то в соответствии с формулой (5.5) все коэффициенты обращаются в нуль. В ряде (5.3) остаются только члены, содержащие функцию косинуса. Амплитуда колебания -й гармоники , начальная фаза 0. Если же колебание представляет собой нечетную относительно функцию, т. е. , то в соответствии с формулой (5.4) в нуль обращаются коэффициенты . Амплитуда колебания -й гармоники , а начальная фаза . В ряде (6.3) остаются только члены, содержащие функцию синуса [2].

Полученные таким образом константы ряда (6.3) и характеризуют спектр негармонического колебания, который представляет собой зависимости амплитуды и начальной фазы каждой гармонической составляющей периодического процесса от частоты . Амплитудный и фазовый спектры некоторого периодического процесса показаны на рис. 6.1.

 Колебательные процессы описываются не только зависимостями типа (6.1), (6.2), (6.3), их графическими представлениями или дифференциальными уравнениями. Важным способом описания колебательного процесса является метод фазовых траекторий или фазовых портретов. Особенно хорошо ими представляются негармонические колебания. Фазовый портрет получают следующим образом: скорость изменения переменного параметра откладывается по оси ординат, а параметр - по оси абсцисс фазовой плоскости. Уравнение фазовой траектории задается зависимостью между параметром и скоростью его изменения : .

Недостатком фазового портрета является невозможность представления процесса колебаний во времени, однако зачастую метод фазовой плоскости оказывается единственным методом исследования негармонических колебаний.

Уравнение фазовой траектории процесса (6.2) получим посредством нахождения , выражения синуса и косинуса аргумента, возведения их в квадрат и сложения: ; ; и, наконец,

. (6.8)

На фазовой плоскости, показанной на рис. 5.2, такое уравнение описывает эллипс с полуосями, равными и .

По уравнению фазовой траектории, процесс колебания во времени определим интегрированием

. (6.9)

Из рис. 6.2 видно, что перемещение точки на фазовой траектории происходит только по часовой стрелке. За исключением специальных случаев, так называемых особых точек, касательная к фазовой траектории в точке пересечения с осью абсцисс всегда вертикальна.

Отдельная фазовая траектория представляет некоторое вполне определенное движение. Если требуется общее представление о всех возможных движениях колебательной системы, то изображается семейство фазовых траекторий. Такое семейство траекторий называется фазовым портретом (рис. 6.2,б). Каждая траектория фазового портрета определяется начальными условиями. В фазовый портрет включается и положение равновесия (точка O), являющееся особой точкой типа центр.

Фазовый портрет затухающего колебания представляет собой спираль, сходящуюся в начале координат. Точка схождения спирали является особой типа фокус. Особая точка в которой сходятся или из которой выходят несколько фазовых траекторий называется узлом. Наконец, особая точка неустойчивого равновесия осциллятора называется седлом.

При заданном дифференциальном уравнении колебательной системы можно получить фазовый портрет системы, не решая самого уравнения, и, тем самым, получить точные значения амплитуды и периода колебаний системы. Особенно это важно в случае, когда колебательная система описывается нелинейным дифференциальным уравнением и имеет негармоническое решение.

Нелинейным преобразованием процесса является изменение его свойств некоторым устройством, сигнал на выходе которого в момент времени есть нелинейная функция входного сигнала и входных сигналов в предыдущие моменты времени , и т. д., . В более простых случаях выходной сигнал полностью определяется входными сигналами в моменты времени и , то есть . Наиболее простым случаем нелинейного преобразования есть преобразование вида

, (6.10)

в котором преобразование входного сигнала не есть ни сложение его с константой, ни умножение на нее.

При нелинейном преобразовании гармонического колебания спектр выходного сигнала будет состоять из множества гармоник. Если же входной сигнал представляет собой сумму гармонических колебаний

, (6.11)

то после нелинейного преобразования выходной сигнал может быть представлен как сумма постоянной составляющей и косинусоидальных сигналов комбинационных частот

. (6.12)

В формуле (6.12) есть обобщенный индекс, произвольно выбираемый по мере возрастания комбинационной частоты, коэффициенты принимают нулевое или любое целочисленное значение.

Если функция преобразования сигнала (5.10) задана в виде полинома степени , то при данном для выполняется условие

. (6.13)

Таким образом нелинейное преобразование периодического процесса есть преобразование его спектра.

Для определения амплитуды и начальной фазы колебания на комбинационной частоте поступают как и при нахождении коэффициентов ряда Фурье.

, (6.14)

; (6.15)

; (6.16)

. (6.17)

Величина есть наименьший промежуток времени, в котором укладываются целое число раз периоды колебаний с циклическими частотами .

Если преобразуется нелинейно гармонический сигнал, то комплексной характеристикой преобразования является коэффициент нелинейных искажений, определяемый корнем квадратным из отношения суммарной средней мощности всех гармоник сигнала выше первой к средней мощности первой гармоники сигнала.

. (6.18)

Для быстрого получения данных о периоде колебаний нелинейного осциллятора применяются приближенные методы [3].

Одним из таких методов является метод малых колебаний. Если дифференциальное уравнение, описывающее гармоническое колебание (6.2), имеет вид

, (6.19)

то для механических колебаний величина представляет собой взятую с обратным знаком и деленную на массу восстанавливающую силу, которая в данном случае есть линейная функция координаты . Если восстанавливающая функция не является линейной, то таковым будет и само дифференциальное уравнение, которое в общем виде запишется так:

. (6.20)

Разложим восстанавливающую функцию в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия (ряд Маклорена), где и :

. (6.21)

Если ограничиться малой окрестностью т. , то члены с высшими степенями окажутся малыми по сравнению с вторым слагаемым правой части. Тогда

. (6.22)

В результате данного приближения восстанавливающая функция приняла вид, соответствующий уравнению (5.19), поэтому квадрат циклической частоты

. (6.23)

Этот метод применяется для определения периода малых колебаний математического и физического маятников. Он совершенно не пригоден для восстанавливающих функций, не разлагаемых в ряд Маклорена.

В таких случаях возможно применение метода гармонического баланса, разработанного Н.М. Крыловым и Н.Н. Боголюбовым. Он применим для колебаний с нечетными восстанавливающими функциями. По этому методу колебания нелинейного осциллятора считаются близкими к виду (6.2).

Если подставить это выражение при в нелинейную восстанавливающую функцию , то она станет периодической функцией времени и будет иметь такую же циклическую частоту первой гармоники, как и . Восстанавливающую функцию можно разложить в ряд Фурье:

. (6.24)

В силу нечетности восстанавливающей функции коэффициенты ряда и равны нулю. Пренебрегая высшими гармониками ряда, получаем

. (6.25)

Методом гармонического баланса удалось привести дифференциальное уравнение нелинейного осциллятора (6.20) к линейному виду (6.19). В отличие от метода малых колебаний здесь частота колебаний зависит от амплитуды колебаний, поскольку

. (6.26)

Приближенный метод Крылова и Боголюбова для возвращающей функции, отличающейся от приведенной в (5.19) наличием в ней малой нелинейной от и составляющей, изложен в [3 – 5]. Метод интересен тем, что заменяет дифференциальное уравнение нелинейного осциллятора линейным при сохранении параметров накопления или рассеяния энергии нелинейного осциллятора. Он позволяет найти параметры фазовой траектории, к которой осциллятор будет асимптотически приближаться, то есть предельный устойчивый цикл осциллятора. Там же описан улучшенный метод, дающий приближение как на основной частоте, так и на ее гармониках.