31. Генеральная и выборочная совокупность

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качествен­ного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным—контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности:

 Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений,  проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.

Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

 Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

 Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки п =100.

Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n .

32. Способы формирования выборочной совокупности. Ошибка выборки

Способ отбора - порядок отбора единиц из генеральной совокупности. Различают два вида:

1) повторный;

2) бесповторный.

Повторный отбор - отобранную единицу после обследования возвращают в генеральную совокупность, и она снова участвует в отборе. Численность генеральной совокупности при этом все время остается неизменной, а вероятность попадания каждой единицы в выборку постоянной.

Бесповторный отбор - отобранные однажды единицы в генеральную совокупность не возвращаются. Вероятность попадания отдельных единиц в вы­борку увеличивается по мере производства отбора.

В зависимости от методики формирования выборочной совокупности различают следующие виды выборки.

Простая случайная выборка - отбор, при котором единицы отбираются из генеральной совокупности наудачу. Этот выбор осуществляется двумя путями: жеребьевкой; с помощью таблиц случайных чисел.

Механическая выборка - вид отбора, при котором наблюдению подвергаются единицы, равно отстоящие друг от друга (отбирается каждая пятая единица, каждая десятая). Если единицы генеральной совокупности располагаются в случайном порядке, не зависящем от изучаемого признака, механическая выборка называется несистематической. Если единицы генеральной совокупности расположены в порядке увеличения или уменьшения изучаемого признака, механическая выборка называется систематической.

При механической выборке учитывается шаг отсчета и начало отсчета. Шаг отсчета - расстояние между соседними отбираемыми единицами. Он определяется делением численности генеральной совокупности на объем выборки h = N /n. Начало отсчета - номер единицы, которая должна быть отобрана первой.

Типическая выборка применятся для совокупности, не являющейся однородной по изучаемому признаку. При этом генеральную совокупность раз­бивают на однородные группы (типы) по изучаемому признаку. Затем из каждой группы отбирается определенное число единиц.

При пропорциональной выборке из каждой группы отбирают число единиц, пропорциональное удельному весу данной группы в генеральной совокупности. Стандартная ошибка непропорциональной выборки зависит от величины средней из групповых дисперсий  .

Серийная выборка - из генеральной совокупности отбираются не единицы, подлежащие обследованию, а группы (серии, гнезда) единиц. Стандартные ошибки выборки при серийном отборе зависят от величины межсерийной дисперсии, которая оп­ределяется по формуле:

где  ^~ - межсерийная дисперсия выборочной совокупности;

r - число отобранных серий. Предельная ошибка серийной выборки:

Комбинированная выборка - комплексное использование нескольких видов выборки. Величина стандартной ошибки состоит из ошибок на каждой ее ступени и может быть определена как корень квадратный из суммы квадратов ошибок соответствующих выборок. Так, если при комбинированной выборке в сочетании использовались механическая и типическая выборки, то стандартную ошибку можно определить по формуле:

Где  ₁ и  ₂ - стандартные ошибки соответственно механической и типической выборок.

Расхождения между величиной какого-либо показателя, найденного посредством статистического наблюдения, и действительными его размерами называются ошибками наблюдения. В зависимости от причин возникновения различают ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации возникают в результате неправильного установления фактов или ошибочной записи в процессе наблюдения или опроса. Они бывают случайными или систематическими. Случайные ошибки регистрации могут быть допущены как опрашиваемыми в их ответах, так и регистраторами. Систематические ошибки могут быть и преднамеренными, и непреднамеренными. Преднамеренные - сознательные, тенденциозные искажения действительного положения дела. Непреднамеренные вызываются различными случайными причинами (небрежность, невнимательность).

Ошибки репрезентативности (представительности) возникают в результате неполного обследования и в случае, если обследуемая совокупность недостаточно полно воспроизводит генеральную совокупность. Они могут быть случайными и систематическими. Случайные ошибки репрезентативности - это отклонения, возникающие при несплошном наблюдении из-за того, что совокупность отобранных единиц наблюдения (выборка) неполно воспроизводит всю совокупность в целом. Систематические ошибки репрезентативности - это отклонения, возникающие вследствие нарушения принципов случайного отбора единиц. Ошибки репрезентативности органически присущи выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Избежать ошибок репрезентативности нельзя, однако, пользуясь методами теории вероятностей, основанными на использовании предельных теорем закона больших чисел, эти ошибки можно свести к минимальным значениям, границы которых устанавливаются с достаточно большой точностью.

Ошибки выборки - разность между характеристиками выборочной и генеральной совокупности.