45) Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'. Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у
Функция, заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений
где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у'х, считая, что функции имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции
Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства получаем
Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.
46) Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной
dy = f'(x)D x. Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:
dy = f'(x)dx. |
|
Выясним
каков геометрический смысл дифференциала.
Возьмем на графике функции y = f(x)
произвольную точку M(x,y).
(на рис 21)Проведем касательную к кривой
y = f(x) в точке M, которая
образует угол f с положительным
направлением оси OX, то
есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного
треугольника MKN
KN
= MNtgf
= D xtg f =
f'(x)D x,
то есть dy = KN. Таким
образом, дифференциал функции есть
приращение ординаты касательной,
проведенной к графику функции y = f(x) в
данной точке, когда x получает
приращение D x.
Приближенные вычисления с использованием дифференциалов. Выражение для дифференциала имеет вид dy(x0,dx)=f′(x0)dx, где dx=Δx. Если f′(x0)≠0, то при Δx→0 приращение функции и ее дифференциал dy в фиксированной точке являются эквивалентными бесконечно малыми, что позволяет записать приближенное равенство: Δy≈dy при |Δx|≪1.