38) Первый замечательный предел: Второй замечательный предел:

39) Приращение функции f(x) в точке x₀ — функция, обычно обозначаемая ∆_x0f  от новой переменной ∆_x0x=x-x₀  , определяемая как ∆_x0f(∆_x0x)=f(x)-f Переменная ∆_x0x=x-x₀ называется приращением аргумента.

В случае когда ясно о каком значении x₀ идёт речь, применяется более короткая запись. ∆f(∆x)=∆_x0f(∆_x0x)

Есть две точки: x1 и x2. Разность x2 - x1 называют приращением аргумента и обозначают Δx. Разность значений функции в этих точках f(x2) - f(x1) называют приращением функции и обозначают Δf(x). То есть это величина, на которую изменилось значение функции при переходе от одной точки к другой.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

40) Дифференцируемость функций. Определение. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке. Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Связь между дефференцируемостью и непрерывностью функции: Если функция y=f(x) дифференцируема в точке Х, то она и непрерывна в этой точке.обратное не гарантировано.

41) Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

42) Производные тригонометрических функций. y=sinx, y/=limΔx→0Δxsin(x+Δx)−sinx=limΔx→0Δx2sin2Δxcos22x+Δx=limΔx→0Δx22Δxcos(x+2Δx)=cosx,(sinx)/=cosx.

(cosx)/=−sinx. 

y=tgx,

y/=cos2x(sinx)/cosx−(cosx)/sinx=cos2xcos2x+sin2x=1cos2x,

(tgx)/=1cos2x.

(ctgx)/=−1sin2x.

Производная логарифмической функции. y=logax,

 y/=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxloga(x+Δx)−logax=limΔx→0Δxloga(xx+Δx)=limΔx→0xxΔxloga(1+xΔx)=  =limΔx→0x1·loga(1+xΔx)·1xΔx=[t=xΔx,Δx→0,t→0]=limt→0x1·t1·loga(1+t)=x1limt→0loga(1+t)t1=  =x1loga[limt→0(1+t)t1]=x1logae=1xlna,    

Производная степенной функции. y=xμ,μ∈R. 

 y/=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δx(x+Δx)μ−xμ=limΔx→0Δxxμ[(xx+Δx)−1]=limΔx→0xΔx·xxμ[(1+xΔx)−1]=  =limΔx→0xΔxxμ−1[(1+xΔx)−1]=[xΔx=t,Δx→0,t→0]=limt→0xμt(1+t)μ−1=xμ·μ,    

[xμ]/=μ·xμ−1. 

Производная показательной функции. y=ax,

y/=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxax+Δx−ax=limΔx→0Δxax(aΔx−1)=axlna,

[ax]/=axlna. 

43) Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных

Дифференцирование сложной функции Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x₀.

Производная сложно-показательной функции Пусть f(x)=u(x)^g(x) (для краткости f=u^g, где u и g - функции). Тогда ,  . С другой стороны,  , т.е.  .

Окончательно имеем 

44) Производная обратной функции Пусть y=f(x) - функция от аргумента x в некотором интервале (a,b). Если в уравнении y=f(x) y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция  , где   - функция обратная данной.

Производные от обратных тригонометрических функций