30) Параболой называется множество всех точек плоскости ,каждая из которых равно удалена от заданной точки называемой F и заданной прямой называемой директриссой.

Кононическое уравнение параболы: y²=2px ,где p>0=F₁l₁ (р-параметр)

Уравнение директрисс: x=-p/2 R₁=x+p/2

Свойства 1)Парабола — кривая второго порядка. 20Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе. 3)Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. 4)Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. 5)Парабола является антиподерой прямой. 6)Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

31) Поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида а₁₁х²+а₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₂₃yx+2a₁₃xz+2a₁₂x+2a₁₄y+2a₃₄z+a₄₄= в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₂₃, a₁₃ отличен от нуля.

Цилиндрические поверхности Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей  , если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей  , целиком принадлежит поверхности S.

Коническая поверхность. Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через M₀ и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Поверхности вращения Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M₀(x₀,y₀,z₀)  этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z₀ с центром в (0,0,z₀) и радиусом  , целиком принадлежит этой поверхности.

Эллиптический параболоид Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

Если a=b , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой  , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы. Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z₀>0  является эллипсом. Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x₀  или y=y₀  является параболой.

Гиперболический параболоид Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью z=z₀  является гиперболой. Пересечение гиперболического параболоида с плоскостьюx=x₀  или y=y₀  является параболой. Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты (x₀,y₀,z₀)  можно найти решив систему уравнений:

32) Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. B формулировке Георга Кантора: Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Бинарные операции

1)пересечение:

2)объединение:

Если множества A и B не пересекаются ,то  . Их объединение обозначают также:  .

3)разность:

4)симметрическая разность:

5)Декартово или прямое произведение:

33) Элементы теории функций

Определение. Если каждому комплексному числу Z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число W из множества G, то на этой области задана Однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

W = F(Z)

Множество D называется Областью определения, множество G – Областью значений функции. Комплексную функцию можно записать в виде:

U, V – действительные функции от переменных Х и У. Если каждому ZÎ D соответствует несколько различных значений W, то функция W=F(Z) называется Многозначной.

Определение. Функция   имеет Предел в точке Z0, равный числу А = A + Ib, если 

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: 1)алгебраические: 2)степенная; 3)рациональная. 4)трансцендентные: 5)показательная и логарифмическая; 6)тригонометрические и обратные тригонометрические.

34) Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства. Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Пусть X — это либо множество вещественных чисел R, либо множество комплексных чисел C. Тогда последовательность   элементов множества X называется числовой последовательностью.

Предел последовательности: Число   называется пределом числовой последовательности  , если последовательность   является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

Число е: e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называютчислом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «е».

35) Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Бесконечно малая Последовательность a_n  называется бесконечно малой, если  . Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если  . Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  . Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

Бесконечно большая Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  . Последовательность a_n  называется бесконечно большой, если  . Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если  . Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Теорема о бесконечно малых.  Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то  . Обратно, если  , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Сравнение бесконечно малых . Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т. е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция   - функция бесконечно малая ( ), то функция   есть бесконечно большая функция и наоборот.

36) Предел функции в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x₀ . Число A называется пределом функции f(x) при x → x₀ (или в точке x₀), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x − x₀| <δ, справедливо неравенство |f(x) − A| < ε

Односторо́нний предел Предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Основные теоремы о пределах Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

  

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

 Þ 

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при  , то и алгебраическая сумма имеет предел при  , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при  , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при  ,

причем  , то и их частное имеет предел при  , причем предел частного равен частному пределов.

виды неопределенностей: 1)ноль делить на ноль  (0 на 0), 2)бесконечность делить на бесконечность , 3) ноль умножить на бесконечность , 4)бесконечность минус бесконечность , 5)единица в степени бесконечность , 6)ноль в степени ноль , 7)бесконечность в степени ноль .

Раскрывать неопределенности позволяет: 1)упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.); 2)использование замечательных пределов; 3)применение правила Лопиталя; 4)использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным(использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

37) Непрерывность функции: функция f(x) называется непрерывной в х₀ если она определена в некоторой окресности точки и предел f(x) при х→x₀

Классификация точек разрыва: 1) Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке. 2)  Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. 3) Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.