Задача №11

Однородный цилиндрический барабан весом 150Н и радиусом 0,3 м вращается вокруг горизонтальной оси под действием двух грузов весами 1600Н и 1200Н, подвешенных на концах каната, навёрнутого на барабан (рис.15). Пренебрегая весом каната, определить силу давления барабана на неподвижную ось .

Решение. Сила давления на ось барабана численно равна реакции опоры , которую разложим на составляющие . Из уравнения следует, что .

Реакцию определим в два этапа. Сначала с помощью теоремы об изменения момента количества движения механической системы относительно точки в алгебраической форме

найдём ускорение движущихся грузов. Моменты сил и относительно точки равны нулю, т.к. точка лежит на линиях действия этих сил. Моменты сил : , . Следовательно, Н∙м.

Найдём кинетический момент механической системы относительно точки , который складывается из кинетических моментов барабана , груза 1 и груза 2 . Заметим, что скорости грузов одинаковы , а угловая скорость барабана . Момент инерции барабана . Тогда получим

.

Производная по времени . Но выше было определено Н∙м. Тогда ускорение грузов м/с².

Ускорение получилось постоянным и отрицательным. Следовательно, барабан вращается равноускоренно по часовой стрелке. Это согласуется с условием задачи: > .

На втором этапе решения задачи определим реакцию . Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы в проекции на ось имеет вид:

2950 Н. (2)

Вектор количества движения системы складывается из векторов количества движений барабана и грузов: .

, т.к. скорость центра масс барабана ;

; . Проекция главного вектора количества движения системы на ось :

.

Берём производную = 40∙(–1,39) = –55,6 Н.

Из (2) найдём Н = – 55,6 Н + 2950 Н = 2894,4 Н.

Ответ: сила давления барабана на ось равна 2,89 кН.

Задача №12

Механическая система состоит из прямоугольной плиты массой , движущейся в вертикальной плоскости вдоль горизонтальных направляющих с начальной скоростью , и груза массой . Груз начинает движение из центра масс плиты вдоль жёлоба по закону = м. На рис.16 груз показан в положении > 0 (при < 0 груз находится по другую сторону от точки ).

Пренебрегая всеми сопротивлениями движению, определить: перемещение плиты за время с; нормальную реакцию горизонтальных направляющих при с.

Р ешение. На рис.16 плита и груз показаны в момент времени . Оси координат проведём так, чтобы при ось проходила через центр плиты . Здесь – силы тяжести плиты и груза; реакция горизонтальных направляющих; вектор скорости плиты; координата центра масс плиты;

– координата груза . Обозначим через координату центра масс систе-

мы. Масса системы M = m₁+m₂ = 24 кг. Координата центра масс системы определяется по формуле:

,

24 = 18 + 6 2,60 sin(πt²/2) = 24 2,60 sin(πt²/2).

Отсюда

0,108 sin(πt²/2). (3)

Проекция скорости центра масс на ось будет

0,108 πt cos(πt²/2). (4)

По теореме о движении центра масс системы в проекции на ось :

или .

Интегрируя дважды это выражение, получим:

, . (5)

Приравниваем, соответственно, правые части (3), (4) и (5):

0,108 sin(πt²/2) = 0,108 πt cos(πt²/2) = . (6)

Определим постоянные интегрирования по начальным условиям: (0) 2м/с, (0) = 0. Подставляя эти значения в (6), найдём: 2м/с, . Заменив в (6) их значениями, получим выражение для скорости плиты и её закон движения:

0,108 πt cos(πt²/2), 0,108 sin(πt²/2).

Перемещение плиты в момент времени с будет

2,108 м ≈ 2,11 м.

Определим нормальную реакцию горизонтальных направляющих. Координата центра масс системы определяется по формуле:

, (7)

где координата центра масс плиты при движении плиты не меняется, координата груза 0,25 sin(πt²/2).

Теорема о движении центра масс системы в проекции на ось :

. (8)

Дважды продифференцируем уравнение (7):

,

. (9)

Приравнивая правые части (8) и (9), найдём реакцию :

.

В момент времени с

=

Н.

Ответ: м; Н.