1 Вопрос

Графом называется пара множеств , где A - любое непустое множество, а B . Элементы из A называются вершинами графа, а элементы из B - его ребрами. Вот пример графа:

Опишем традиционную геометрическую интерпретацию графа. Пусть - некоторый граф и . Фиксируем на плоскости произ-вольным образом p точек и произвольным образом дадим им в качестве имен имена вершин данного графа; в итоге на плоскости возникнут точки, обозначенные как . Затем для каждой пары точек таких, что , проведем отрезок прямой, соединяющий точки . В результате таких действий возникнет некоторый рисунок, который и называется

геометрической интерпретацией графа. Заметим, что одному и тому же графу соответствует много рисунков, которые могут быть его геометрическими интерпретациями.

Если в некотором графе , где

пара вершин такова, что , то вершины называются смежными; в этой ситуации каждая из них называется инцидентной ребру , а ребро называется инцидентным каждой из вершин . Если вершина и ребро инцидентны, то пишут .

Количество ребер, инцидентных данной вершине a называется ее степенью или локальной степенью графа в вершине a; степень вершины a обозначается через . В приведенном выше примере степень вершины «1» равна 4, степень вершины «2» равна 2, степень вершины «3» равна 3, степень вершины «4» равна 2, степень

вершины «5» равна 1. А вот пример графа с локальной степенью 0: ; здесь вершина «3» имеет степень 0. Вершины со степенью 0 называются изолированными.

2 Вопрос

Пусть теперь - два графа таких, что и ; тогда говорят, что является подграфом графа . Если в некотором графе множество ребер B таково, что , то граф называется полным. Заметим, что если в полном графе число вершин равно p, то число ребер равно .

Пусть по-прежнему - граф и - его вершины. Построим квадратную матрицу , положив

Очевидно, эта матрца симметрична. Она называется матрицей смежностей графа . В приведенном выше примере графа матрица смежностей такова:

.

Сопоставим графу еще одну матрицу. Будем считать, что - по-прежнему множество вершин и пусть - множество ребер. Определим матрицу следующим образом:

Введенная так матрица N называется матрицей инциденций данного графа.

Очевидно, вид матрицы смежностей и вид матрицы инциденций существенно зависят от того, как именно занумерованы вершины и ребра. Если в приведенном выше примере графа считать, что

,

то матрица инциденций будет такой:

.

В каждом столбце матрицы инциденций всегда ровно две единицы,

остальные элементы равны нулю. Если в графе все вершины имеют

степень ноль, то матрицы инциденций не существует.

Наконец, введем одно из важнейших понятий в теории графов - понятие изоморфизма графов. Пусть - два графа. Предположим, что существует такое отображение множеств вершин , что выполнены следующие четыре условия:

1) если , то ;

2) для всякого существует такой, что ;

3) если , то ;

4) для всякого существует такое , что

и .

Тогда отображение f называется изоморфизмом графов , а сами эти графы называются изоморфными. Нетрудно заметить, что при изоморфизме каждая вершина переходит в вершину с той же степенью. Поэтому наверняка неизоморфны графы, в списке локальных степеней которых есть резкие отличия (например, в одном графе есть вершина со степенью 3, а в другом такой степени вообще нет). Однако, проверка двух графов на изоморфизм представляет собой намного более трудную задачу, чем простое сравнение степеней.

3Вопрос

Пусть - граф и, как обычно, .

Путь в графе - это символ вида

,

где . Таким образом, среди вершин и ребер могут быть повторы. По символу пути на графической интерпретации графа можно воспроизвести «движение» от вершине к вершине, выбирая каждый раз очередное ребро в соответствии с указанием в пути.

Вершины в приведенных выше обозначениях называются концами пути и связанными или соединенными путем L. Отдельным термином выделяют тот факт, что две вершины графа могут быть связаны некоторым путем: их называют связанными. Например, в графе

вершины a₃ и a₅ связаны (путем ), а вершины a₄ и a₁ нет.

Граф, в котором связанны любые две вершины, называется связным. Таким образом, выше приведен пример графа несвязного. Связной компонентой графа называется такой его подграф, который является сам по себе графом связным и при этом совпадающим с любым другим содержащим его связным подграфом. Таким образом, связный граф обладает единственной связной компонентой - это он сам. А вот пример графа с тремя связными компонентами (имена вершин не имеют значения):

Путь без повторяющихся ребер называется цепью, а цепь без повторяющихся вершин называется простой. Цепь, в которой совпадают концевые вершины, называется циклом, а цикл в котором нет повторяющихся вершин, кроме концевых, называется простым.

Вот схематическое изображение простого цикла:

А вот схематическое изображение цикла, не являющегося простым:

Ведем теперь три стандартные операции над графами.

Удаление вершины. Пусть - граф и . Удалить вершину a из графа G - это значит построить новый граф , в котором и получается из B удалением всех ребер, инцидентных вершине a. Вот иллюстрация удаления вершины a из

графа:

До После

удаления вершины a удаления вершины a

Удаление ребра. Пусть - граф и . Удалить ребро b - это значит построить новый граф , в котором и . Вот иллюстрация удаления ребра графа:

До После

удаления ребра b удаления ребра b

Подразбиение ребра. Пусть - граф и . Выполнить подразбие-ние ребра b - это значит построить новый граф , в котором (т.е. z -некая новая вершина) и . С графической точки зрения эта опе-рация означает «внесение в ребро новой вершины». Вот графическая иллюстрация:

До После

внесения вершины z внесения вершины z

И в заключение введем один специальный вид графов. Деревом называется связный граф без циклов. Вот пример дерева:

А вот пример графа, не являющегося деревом: Если граф является деревом и число его вершин равно p, то о числе его ребер можно сказать совершенно определенно: количество ребер равно . В каждом дереве имеется еще одна особенность: любые две вершины в дереве связаны и притом единственной простой цепью. Оба эти обстоятельства имеют несложные доказательства.