Равновесие системы сходящихся сил в аналитической форме.

Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода. 1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».

2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю.

Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно Rx=0,Ry=0,Rz=0, т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

- сумма проекций всех сил на ось Х равна нулю;

- сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю;

- сумма проекций всех сил на ось Z равна нулю:

Приведенные равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Геометрич.условие равновесия: для равновесия сходящихся систем сил необходимо и достаточно, чтобы R=0. И силовой многоугольник построенный из этих сил был замкнут. Аналитическое условие равнов: для равновесия пространственной системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы этих коорд.осей были =0.

3. Теорема Вариньона. В некоторых случаях при определении момента силы возникают трудности в расчете плеча силы. Решение вопроса упрощает теорема Вариньона, согласно которой момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

 Например, момент силы F  относительно точки  O можно определить как алгебраическую сумму моментов сил Fx  и  Fy (на которые можно разложить силу F ) относительно той же точки O  То есть Mo(F)= -Fh = -Fx y+ Fy x, где  Fx , Fy ,  x и y  – проекции на оси координат силы F и радиуса-вектора r .

4. Моментом сил относительно точки называется взятое с соответствующим знаком произведение величины силы на ее плечо.

Часто такой момент называют алгебраическим.

Этот момент численно равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке

Момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится повернуть плоскость, проходящую через линию ее действия и моментную точку, против часовой стрелки. В противном случае этот момент будет отрицательным.

Если линия действия силы проходит через точку по отношению к которой оределяется момент, то момент равен нулю. Векторным моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы.

И этого определения следует.

1. Векторный момент силы перпендикулярен к плоскости, проходящей через линию действия силы и моментную точку.

2. Векторный момент силы направлен в ту сторону, откуда вращение тела под действием силывидно происходящим против часовой стрелки.

3. Величина векторного момента силы равна произведению величины силы на ее плечо

4. Векторный момент силы считается приложенным в той точке, относительно которой он вычисляется. Моментом силы относительно оси называется момент проекции этой силы на перпендикулярную к оси плоскость относительно точки пересечения оси и плоскости

На рисунке задана произвольная плоскость П, перпендикулярная оси Z.

О - точка пересечения оси Z и плоскости П. h - плечо проекции силы F на плоскость П относительно точки О. Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на перпендикулярную к оси плоскость стремится повернуть эту плоскость вокруг положительного направления оси против часовой стрелки. В противном случае указанный момент будет отрицательным. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

 5. Парой сил называются две силы, равные по величине, параллельные друг другу и направленные в противоположные стороны. F1 = -F2. R* = F1 - F2 = 0

AC/F2 = BC/(R*) (стремится к бесконечности),(F1,F2) не эквивалентны 0

Момент пары сил - произведение одной из сил на ее плечо. M(F1,F2) = M12 = ±F1*d = ±F2*d

Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки: Сумма моментов сил, входящих в состав пары сил относительно любой точки не зависит от ее выбора и равна моменту этой пары сил.

F1 = -F2, Mo(F2) + Mo(F1) = r2*F2 + r1*F1 = r2*F2 - r1*F2 = (r2 - r1)*F2 = AB * F2 = M(F1,F2).

6. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо. Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар. M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F1+F2)=BA×F1+BA×F2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA×F1=M1, BA×F2=M2, M=M1+M2. СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар. Дано: (F1, F1’), (F2, F2’)Доказательство:Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:(Q1,Q1’) и (Q2,Q2’). При этом M1=M(Q1,Q1’)=M(F1, F1’), M2=M(Q2,Q2’)=M(F2, F2’).Сложим силы R=Q1+Q2, R’=Q1’+Q2’. Т. к. Q1’= - Q1, Q2’= - Q2 Þ R= -R’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q1+Q2)= BA×Q1+BA×Q2=M(Q1,Q1’)+ M(Q2,Q2’)=M(F1,F1’)+ M(F2,F2’) Þ M=M1+M2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ: Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю. M1+ M2+…+ Mn=0.

7) Сложение пар.Пусть даны две пары с моментами m₁ и m₂, расположенные в пере­секающихся плоскостях (рис.25).Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны: , а об­разующих вторую пару: .

Эти пары показаны на рис.25, где , . И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на линии пересе­чения плоскостей.

Рис.25 Сложив силы, приложенные к точкам А и В, построением паралле­лограммов, получим их равнодействующие и . Так как , то эти силы и будут образовывать пару, мо­мент которой , где – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ.Так как , то момент полученной пары

.Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пере­секающихся плоскостях, получится пара сил. Момент её будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар.

При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоско­стях, получим пару с моментом

.Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоско­сти перпендикулярной вектору .Равенство нулю результирующей пары будет означать, что пары, действующие на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие рав­новесия пар

. Если пары расположены в одной плоско­сти, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно опре­делить как алгебраическую сумму моментов пар.

Рис.26

Например, пары, показанные на рис.26, расположены в одной плоскости и моменты их:

m₁=2 Hсм , m₂=5 Hсм, m₃=3 Hсм. Пары урав­нове­шива­ются, потому что алгебраиче­ская сумма их моментов равна нулю:

.

8) Теорема о параллельном переносе силы.Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью аксиомы параллелограмма сил. Для двух параллельных сил эта задача была решена путем приведения их к сходящимся силам. Очевидно, что анало­гичную задачу легко будет решить и для произвольной системы сил, если найти и для них метод приведения к силам, приложенным в одной точке.Ранее мы установили, что вектор силы можно переносить по линии действия в любую точку тела.Попробуем силу (рис. 27) перенести в какую-нибудь точку О, не расположенную на линии дей­ствия.

Рис.27

Приложим к этой точке две урав­новешивающиеся силы и , парал­лельные силе и равные ей по вели­чине: .В результате получим силу , приложенную к точке О. То есть мы как бы перенесли заданную силу из точки А в точку О, но при этом появилась пара, образованная си­лами и . Момент этой пары , равен моменту заданной силы относительно точки О.Этот процесс замены силы равной ей силой и парой называ­ется приведением силы к точке О.Точка О называется точкой приведения; сила , приложенная к точке приведения, – приведённой силой. Появившаяся пара – присоеди­нённой парой.

 Приведение плоской системы сил к данному центру. Пусть на твердое тело действует какая-нибудь система сил , , …, , лежащих в одной плоскости. Возьмем в этой плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, перенесем все силы в центр О (рис. 28, а). В результате на тело будет действовать система сил приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны:

 

Рис.28

 Силы, приложенные в центре О, можно заменить одной силой , приложенной в том же центре; при этом или Точно так же, по теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары или Величина , равная геометрической сумме всех сил системы, называется, как известно, главным вектором системы; величину М_о, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра О, будем называть главным моментом системы относительно цент­ра О. В результате мы доказали следующую теорему: всякая пло­ская система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М₀, равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 28, в).

9) Рассмотрим плоскую систему сил (F₁, F₂, ..., F_n),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy. Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:R = F₁ + F₂ + ... + F_n = F_i.Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил. Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L_O, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:L_O = M_O(F₁) + M_O(F₂) + ... + M_O(F_n) = M_O(F_i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L_O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться. Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом L_O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно центра О. Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.