17. Правило сложения дисперсий для доли признака.

Рассмотренное правило сложения дисперсий распространяется и на дисперсии доли признака, т.е. доли единиц с определенным признаком в совокупности, разбитой на группы.

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле:

q_pi²=p_i*(1- p_i)

где p_i - доля изучаемого признака в отдельных группах.

Средняя из внутригрупповых дисперсий имеет вид:

q_pi²=∑p_i(1- p_i)²n_i / ∑n_i= p_i*(1- p_i)

Межгрупповая дисперсия:

b_pi²=∑(p_i-p^-)²*n_i / ∑n_i

где - численность единиц в отдельных группах;

p^-- доля изучаемого признака во всей совокупности.

Доля признака в совокупности определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

p^-= ∑p_in_i / ∑n_i

Общая дисперсия определяется по формуле:

q_p²=p^-*(1- p^-)

Три вида рассмотренных дисперсий связаны между собой следующим образом:. q_p²=q_pi²+b_pi²

Это соотношение дисперсий называется правилом сложения дисперсий доли признака.

18. Структурные характеристики вариационного ряда распределения.

В системе структурных показателей в качестве показателей особенностей формы распределения выступают варианты, занимающие определенное место (каждое четвертое, пятое, десятое, двадцать пятое и т.д.) в ранжированном вариационном ряду. Такие показатели носят общее название квантилей, или градиентов.

Некоторые квантили имеют особые наименования: квартили(на 3 части), квинтили(на 5), децили( на 10) и перцентили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квар­тиль нижний Q₁, отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний Q₃, отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁; 25% единиц будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% - между Q₂ и Q₃ и остальные 25% превзойдут Q₃. Вторая квартиль Q₂ является медианой.

Q₁=x_{Q1 +} i * (1/4 ∑f – S_Q1-1)/f_Q1

где x_Q1 - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

S_Q1-1- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содер­жащему нижний квартиль;

f_Q1- частота интервала, содержащего нижний квартиль;

Децили d_i - это значения вариант, которые делят ранжированный ряд на 10 равных частей: 1-й дециль делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10, 2-й дециль - в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д.

Вычисляются децили по той же схеме, что и медиана, и квартили:

d₁=x_di+i*(1/10∑f – S_d1-1)/f_d1

19. Изучение формы распределения

Кривая распределения выражает графически (полигон, гистограмма) закономерность распределения единиц совокупности по величине варьирующего признака. Различают эмпирические и теоретические кривые распределения.

Эмпирическая кривая распределения - это фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение.

Теоретическая кривая распределения - это кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения.

Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными. В зависимости от того, какая ветвь кривой вытянута - правая или левая, различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными.

Для однородных совокупностей характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра, равны между собой. При Mo>Me>x^- разности между x^--Mo и x^--Me положительные и асимметрия правосторонняя, а при Mo<Me<x^-, наоборот, разности x^--Mo и x^--Me отрицательные и асимметрия левосторонняя.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии As:

As= x^—Mo/q или As= x^—Me/q

В симметричном распределении центральный момент 3-го порядка m₃=0, поэтому, чем он больше, тем больше и асимметрия.

Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента 3-го порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе, т.е.

As=m₃/q³

Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше. Асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной; если она меньше 0,25, то незначительной.

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса Ek. Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента 4-го порядка : (m₄=∑(x_i-x^-)⁴*f_i) ∑ f_i)

Ek=m₄/q⁴ - 3

E_k>0 –островершинное распределение, <0 - плосковершинное

В нормальном распределении Ek=0.

Эти показатели позволяют сделать вывод о возможности отнесения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.