15. Вариации альтернативного признака.

В ряде случаев возникает необходимость в измерении дисперсии так называемых альтернативных признаков, тех, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Примером таких признаков являются: бракованная продукция, ученая степень преподавателя вуза, работа по полученной специальности и т.д. Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении нуля у единицы, которая этим признаком не обладает, или единицы у той, которая данный признак имеет.

Пусть - доля единиц в совокупности, обладающих данным признаком (p=m/n, n- число наблюдений, m- число единиц совокупности, обладающее данным признаком); q- доля единиц, не обладающих данным признаком, причем p+q=1. Альтернативный признак принимает всего два значения - 0 и 1 с весами соответственно q и p. Вычислим среднее значение альтернативного признака по формуле средней арифметической:

x^-=1p+0q / p+q = p

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

дисперсия²=pq

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при p=0.5.

Показатели вариации альтернативных признаков используются при проектировании выборочного наблюдения, обработке данных социологических обследований, статистическом контроле качества продукции

16. Виды дисперсий в совокупности, разделенной на группы. Правило сложения дисперсий

Изучая вариацию по всей совокупности в целом и опираясь на общую среднюю, невозможно определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака.

При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: дисперсию общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

q²= q²=∑|x_i-x^-|²n_i/∑n_i

Межгрупповая дисперсия (b²) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. b²= ∑|x_j^--x^-|²n_j/∑n_j

где k - число групп;

- частная средняя по j-й группе;

- общая средняя по совокупности единиц.

Внутригрупповая дисперсия (q_j²) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки q_j²= ∑|x_ij^—x_j^-|²/∑n_j

По совокупности в целом вариация значений признака под влиянием прочих факторов характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий (q^-2):

q^-2=∑q²_j*n_j/∑ n_j

Правило сложения дисперсий:. q²=q^-2+b²

Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (n²): n²=b²/q²

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (n):

n= (b²/q²)^^1/2

Это отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если n=0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если n=1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.