13. Показатели центра распределения

Важнейшей характеристикой центра распределения является средняя арифметическая.

Для вычисления по данным первичного ряда применяется формула простой средней арифметической: x^-=∑x_i/n

Мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающегося в исследуемой совокупности.

Модальный интервал – в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наиб частоте, с неравными интервалами – по наиб плотности.

Mo=x_mo+i_mo * (f_mo - f_mo-1)/ (f_mo - f_mo-1)+ (f_mo - f_mo+1)

Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, кот является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения отпускают перпендикуляр на ось абцисс. Абцисса точки пересечения этих прямых и будет Мо распределения.

Медиана – величина изучаемого признака, кот находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Me=x_m+1 – при нечетном числе вариантов

Me= (x_m+ x_m+1)/2 – при нечетном числе

Me=x_me + i_{me *} (1/2∑f – S_me-1)/f_me

Медиана рассчитывается по кумуляте. Для этого из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50% проводится прямая, параллельная оси абцисс до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абцисс. Абцисса точки пересечения – Ме.

14. Показатели вариации и способы их расчета.

Показатели вариации – для изучения степени разбросанности значений, степень колеблемости их в вариационном ряду.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные показатели : размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение; относительные показатели: коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др. Относительные показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане).

Вариационный размах R показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака.

Среднее линейное отклонение , представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней:

d^-=∑|x_i-x^-|/n - невзвешенное среднее линейное отклонение;

d^-=∑|x_i-x^-|f_i/∑f_i - взвешенное среднее линейное отклонение.

Дисперсия (q) представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

q²=∑|x_i-x^-|²/n- невзвешенная

q²=∑|x_i-x^-|²/∑f_i - взвешенная

Расчет дисперсии может быть упрощен. В случае равных интервалов в вариационном ряду распределения используется способ отсчета от условного нуля или способ моментов, который основан на математических свойствах дисперсии.

q²=(∑(x_i- A)/k)²*f_i /∑f_i) *k²-(x^—A)²

- условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой.

С использованием начальных моментов формула расчета дисперсии по способу моментов имеет вид:

q²=k²(m₂-m₁²)

где m₁=(∑(x_i- A)/k)*f_i /∑f_i) , m₂=(∑(x_i- A)/k)²*f_i /∑f_i)

В случае когда А приравнивается к нулю и, следовательно, отклонения не вычисляются, формула принимает вид:

q²=x^-2-(x^-)² или q²=(∑x_i²f_i)/∑f_i - (∑x_if_i/∑f_i )²

Среднее квадратическое отклонение q равно корню квадратному из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения. Они выражаются в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях и т.д.).

Cреднее квадратическое отклонение > среднего линейного отклонения.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оцен­ку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V).

Коэффициент осцилляции: V_R=R/x^-*100%

Линейный коэффициент вариации: V_d=d^-/x^-*100%

Коэффициент вариации: V_q=q/x^-*100%