Класс непрерывных функций

Нахождение непрерывного решения функционального уравнения - как правило, непростая задача. Вся трудность обычно состоит в использовании самого факта непрерывности функции. (Здесь речь не идёт об уравнениях, для которых решение находится без использования этого факта.)

Будем называть, функцию непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. В этом случае широкое применение находит следующее интуитивно понятное утверждение:

"Если функция  непрерывна в некотором промежутке   и на концах этого промежутка принимает неравные значения    и 

, то она также принимает все промежуточные между A и B значения на промежутке  ."

Данное утверждение носит название теоремы Больцано-Коши, строгое доказательство которой можно найти в любом курсе анализа. Здесь мы доказательство не рассматриваем. Теорема имеет простой геометрический смысл: если провести прямую  , где C - любое число между A и B, то график исходной функции обязательно её пересечёт.

Класс монотонных функций

Определение. Функция  называется монотонной, если для любых двух наборов значений входных переменных и из того, что , следует, что (9).

Свойства монотонных функций.

Нулевой набор значений сравним с любым набором, и является меньшим любого из них. Значит, если монотонная функция равна единице на этом наборе, то она равна единице и на любом наборе, т.е. равна константе. Точно так же, если на единичном наборе значений монотонная функция равна нулю, то она не может быть единицей ни на каком наборе, так как единичный  набор больше всякого другого набора.

Пусть функция на наборе a, отличном от единичного, равна 1, и пусть значение i-ой компоненты в нём равно 0. Это значит, что на наборе, который отличается только тем, что -ая переменная в нём равна 1, функция тоже примет единичное значение. Это означает, что конъюнкции в ДНФ, соответствующие этим наборам, можно склеить по переменной . Точно так же, для набора со значением переменной 0 (т.е. с возможным значением в конъюнкции переменной с инверсией) найдётся набор со значением переменной 1, что приведёт к склеиванию по этой переменной. Следовательно, в минимальной ДНФ монотонной функции нет переменных в инверсной форме.

Из этого свойства можно вывести, что суперпозиция монотонных функций снова будет монотонной функцией, т.е. множества монотонных функций образует класс монотонных функций, обозначаемый как M. Базис класса М образуют обе константы и пара функций – конъюнкция и дизъюнкция.

Функциональное уравнение линейной однородной функции

В этом пункте мы займёмся отысканием решений функционального уравнения Коши:

.

Нетрудно заметить, что линейные однородные функции вида:

удовлетворяют этому уравнению:

Вопрос состоит в том, будут ли эти функции единственными.

Прежде всего, выведем несколько общих фактов, не накладывая никаких ограничений на функцию f (т. е. без всяких предположений о непрерывности, ограниченности и т. п.).Положим в уравнении  , получим:

.

Далее, последовательно полагая  ,  ,   и т. д., имеем:

;

и вообще, для любого натурального 

(это легко проверяется по индукции).Заменив здесь   на  , мы получим:

затем, если подставить   (m - натуральное) вместо   и использовать предыдущее равенство, придём к соотношению:

. (2)

Положим теперь в основном уравнении (1)  ; получим так что . Если же взять  , найдём:

. (3)

Так что функция является нечётной, а тогда из (3) легко вывести:

. (4)

Полученные соотношения (2) -(4) могут быть объединены в равенстве

,

справедливом для любого вещественного значения  , каково бы ни было рациональное число r.

Если взять здесь  , то получим:

_,

или, если обозначить  через  , f(r) = ar.

Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вид функции f, но пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет основному уравнению Коши (1). Далее в решении мы будем уже опираться на конкретный класс функций, в котором ищется решение. Рассмотрим некоторые наиболее общие классы функций.

Для рациональных   мы установили, что  . Осталось показать, что это соотношение справедливо и для иррациональных  Пусть   будет любое иррациональное число. Тогда существует последовательность рациональных чисел

сходящаяся к этому числу x (это известный факт; можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). По доказанному

перейдём здесь к пределу при n→∞

.

Справа мы получим  , слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции , получится

так что, окончательно,

Таким образом, действительно, все непрерывные аддитивные функции являются линейными однородными. Последняя формула даёт самое общее решение функционального уравнения (1).