Ogólna idea metody skróconej.

Wyobraźmy sobie, że chcemy się dowiedzieć, czy formuła jest tautologią, na razie jeszcze przy pomocy „zwykłej” metody polegającej na badaniu wszystkim możliwych podstawień zer i jedynek. Co by można było powiedzieć, gdyby już w pierwszym przypadku pod głównym spójnikiem badanego schematu pojawiło się zero? Oczywiście wiedzielibyśmy, że formuła na pewno już nie jest tautologią, bo przecież tautologia musi za każdym razem wygenerować zdanie prawdziwe. Wiedzę tę uzyskalibyśmy już po rozpatrzeniu jednego przypadku, więc nie było by potrzeby rozważania kolejnych. Moglibyśmy udzielić w 100% pewnej odpowiedzi – badana formuła nie jest tautologią.

Na powyższej obserwacji opiera się właśnie skrócona metoda zero-jedynkowa. Polega ona bowiem na poszukiwaniu już w pierwszym podejściu takich podstawień zer i jedynek dla zmiennych zdaniowych, aby wykluczyć możliwość, że formuła jest tautologią. Dokładniejszy opis metody skróconej najlepiej przedstawić jest na przykładzie.

1.4.2. Praktyka: wykorzystanie metody skróconej.

Przykład:

Zbadamy przy pomocy metody skróconej, czy tautologią jest formuła (p  q)  (p  q).

Gdybyśmy chcieli już w pierwszej linijce stwierdzić, że formuła nie jest tautologią, musielibyśmy znaleźć takie podstawienia zmiennych, aby pod głównym spójnikiem pojawiło się zero. Od tego więc zaczniemy:

(p  q)  (p  q)

0

Wiemy zatem, że w poszukiwanym przez nas przypadku 0 musiałoby pojawić się pod spójnikiem implikacji. Gdy spojrzymy teraz do tabelki dla implikacji, zobaczymy, że może być ona fałszywa tylko w jednym przypadku – mianowicie jej poprzednik musi być prawdziwy, a następnik fałszywy. Aby więc w naszym przykładzie 0 mogło się pojawić tam, gdzie je postawiliśmy, prawdziwa musiałaby okazać się implikacja w pierwszym nawiasie, a fałszywa alternatywa w drugim. Otrzymujemy więc:

(p  q)  (p  q)

1 0 0

Uwaga na błędy!

Niektórzy początkujący adepci logiki widząc w tabelce, że aby implikacja była fałszywa, „p” musi być 1, a „q” – 0, wpisują jedynki pod wszelkimi możliwymi zmiennymi „p” w formule, a zera pod wszystkimi „q”, np.:

(p  q)  (p  q)

1 0 0 1 0 ŹLE!!!

Jest to oczywiście błąd. Zmienne „p” i „q” z tabelki należy rozumieć umownie, jako dowolny poprzednik i następnik implikacji. W naszym konkretnym przypadku poprzednikiem nie jest pojedyncze zdanie p, ale cała implikacja p  q (i to właśnie cała ta implikacja powinna posiadać wartość 1), zaś następnikiem nie proste zdanie q, ale alternatywa p  q (i to ona musi być fałszywa), a więc:

(p  q)  (p  q)

1 0 0 DOBRZE

W pierwszym nawiasie otrzymaliśmy jedynkę przy implikacji. W tabelce dla tego spójnika widzimy, że jedynka może się przy nim pojawić w trzech różnych sytuacjach. Ponieważ nie wiemy, który wariant wybrać, zostawiamy na razie tę implikację i przechodzimy do drugiego nawiasu. Mamy tu fałszywą alternatywę. W tabelce dla alternatywy widzimy, że jest ona fałszywa tylko w jednym przypadku – gdy oba jej człony są fałszywe. Tu zatem nie mamy żadnego wyboru. Musimy wpisać zera pod obydwiema zmiennymi zdaniowymi:

(p  q)  (p  q)

1 0 0 0 0

W tym momencie dowiedzieliśmy się, jakie powinny być wartości logiczne zmiennych p i q. Jako że wartości te muszą być oczywiście takie same w całym wyrażeniu (nie może być tak, aby jedno zdanie było w jednym miejscu prawdziwe, a w drugim fałszywe), przepisujemy je we wszystkie miejsca, gdzie zmienne p i q występują:

(p  q)  (p  q)

0 1 0 0 0 0 0

Widzimy, że wpisaliśmy wartości logiczne we wszystkie możliwe miejsca. Pozostaje nam jeszcze sprawdzić, czy wszystko się zgadza. Jeżeli gdzieś mogła wkraść się jakaś nieprawidłowość, to jedynie w ostatnim kroku – tam gdzie przepisaliśmy wartości zmiennych p i q. Sprawdzamy zatem w tabelce, czy implikacja może być prawdziwa (tak wyszło w naszym przykładzie), gdy jej poprzednik i następnik są fałszywe (te wartości zmiennych przepisaliśmy z drugiego nawiasu). Wszystko się zgadza, implikacja taka jest prawdziwa. W innych miejscach formuły też wszystko musi się zgadzać, ponieważ wcześniej wszędzie wpisywaliśmy wartości logiczne wprost z tabelek.

Tak więc już w pierwszej linijce pokazaliśmy, że badana formułą może okazać się schematem zdania fałszywego, a zatem nie jest ona na pewno tautologią.

▲

Uwaga na błędy!

W powyższym przykładzie wykazaliśmy jedynie, że formuła nie jest tautologią. Nie znaczy to jednak, iż jest ona kontrtautologią. Aby stwierdzić, że schemat jest kontrtautologią, musielibyśmy mieć pewność, że generuje on tylko i wyłącznie zdania fałszywe. My natomiast pokazaliśmy jedynie, że daje on takie zdanie w przynajmniej jednym przypadku. Sprawdzenie, czy formuła jest kontrtautologią wymagałoby obecnie posłużenia się metodą skróconą w inny sposób lub zastosowania metody zwykłej. Na razie wiemy tylko i wyłącznie, że nie jest ona tautologią.

Przykład:

Sprawdzimy przy pomocy skróconej metody, czy tautologią jest formuła:

(p  q)  (p  q)

Jak zawsze w metodzie skróconej zaczynamy od sprawdzenia, czy formuła może stać się schematem zdania fałszywego, a zatem, czy pod głównym spójnikiem może pojawić się 0.

(p  q)  (p  q)

0

Podobnie jak w poprzednim przykładzie mamy zero przy implikacji. Z tabelki dla tego spójnika wiemy, że w takim przypadku prawdziwy musi być poprzednik implikacji (a więc koniunkcja w pierwszym nawiasie), a fałszywy następnik (implikacja w drugim nawiasie):

(p  q)  (p  q)

1 0 0

W pierwszym nawiasie mamy prawdziwą koniunkcję. Z tabelki widzimy, że taka sytuacja możliwa jest tylko w jednym przypadku – oba człony koniunkcji muszą być prawdziwe:

(p  q)  (p  q)

1 1 1 0 0

Skoro znamy już wartości zmiennych p i q przepisujemy je wszędzie, gdzie te zmienne występują:

(p  q)  (p  q)

1 1 1 0 1 0 1

Podobnie jak poprzednio, musimy teraz jeszcze sprawdzić, czy wartości, które przepisaliśmy w ostatnim kroku zgadzają się z tymi, które wpisaliśmy wcześniej. W tym momencie natykamy się na coś dziwnego. Okazuje się otrzymaliśmy fałszywą implikację, której zarówno poprzednik, jak i następnik są zdaniami prawdziwymi. Ale przecież sytuacja taka jest całkowicie niezgodna z tabelkami! Otrzymaliśmy ewidentną sprzeczność – coś, co nie ma prawa wystąpić:

(p  q)  (p  q)

1 1 1 0 1 0 1

O czym może świadczyć pojawienie się sprzeczności? Aby to zrozumieć, dobrze jest prześledzić cały tok rozumowania od samego początku. Założyliśmy na początku 0 pod głównym spójnikiem całej formuły. Następnie wyciągaliśmy z tego konsekwencje, wpisując wartości, które musiałyby by się pojawić, aby założone 0 faktycznie mogło wystąpić. Postępując w ten sposób doszliśmy do sprzeczności. Wynika z tego, że nasze założenie nie daje się utrzymać. Zero pod głównym spójnikiem nie może się pojawić, ponieważ prowadziłoby to do sprzeczności. A skoro pod głównym spójnikiem nie może być nigdy 0, to znaczy że zawsze jest tam 1, a to z kolei świadczy, że badana formuła jest tautologią.

Tautologiczność formuły wykazana została w jednej linijce. Po prostu zamiast pokazywać, że badany schemat zawsze daje zawsze zdania prawdziwe, udowodniliśmy, że nie może wygenerować on zdania fałszywego.

▲

UWAGA!

Sposób, w jaki rozwiązany został powyższy przykład, nie jest jedynym możliwym. Zobaczmy, jak można to było zrobić inaczej.

Rozpoczynamy tak samo, wpisując 0 pod główną implikacją, a następnie 1 przy jej poprzedniku i 0 przy następniku:

(p  q)  (p  q)

1 0 0

Zauważmy teraz, że wcale nie musimy zaczynać od prawdziwej koniunkcji w pierwszym nawiasie. Również w drugim nawiasie mamy bowiem tylko jedną możliwość wpisania kombinacji zer i jedynek. Aby umieszczona tam implikacja była fałszywa, prawdziwy musi być jej poprzednik, a fałszywy następnik:

(p  q)  (p  q)

1 0 1 0 0

Gdy przepiszemy teraz otrzymane wartości zmiennych do pierwszego nawiasu otrzymamy:

(p  q)  (p  q)

1 1 0 0 1 0 0

Okazuje się, że tym razem również otrzymujemy sprzeczność, tyle że w innym miejscu:

(p  q)  (p  q)

1 1 0 0 1 0 0

Użyteczna wskazówka:

Gdy sprawdzamy, czy formuła jest tautologią przy pomocy metody skróconej, nie jest istotne, gdzie pojawi się sprzeczność. Często może ona wystąpić w różnych miejscach, w zależności od tego, w jakiej kolejności wpisywaliśmy symbole 0 i 1 do formuły.

Wracając do omawianego przykładu, zobaczmy jeszcze inny sposób, w jaki sprzeczność mogła się ujawnić. Zaczynamy tak jak poprzednio:

(p  q)  (p  q)

1 0 0

Teraz zauważamy, że obu nawiasach mamy tylko jedną możliwość wpisania kombinacji 0 i 1 jedynek, więc je od razu jednocześnie wpisujemy:

(p  q)  (p  q)

1 1 1 0 1 0 0

Tym razem również sprzeczność wystąpiła, choć może nie jest to widoczne na pierwszy rzut oka. Zmienna q okazuje się w jednym miejscu reprezentować zdanie prawdziwe, a jednocześnie w innym fałszywe. Taka sytuacja oczywiście nie jest możliwa.

(p  q)  (p  q)

1 1 1 0 1 0 0

Ponieważ dla właściwego posługiwania się skróconą metodą zero-jedynkową ważne jest zrozumienie całego toku rozumowania z nią związanego, przedstawimy go jeszcze raz.

Gdy chcemy dowiedzieć się, czy schemat jest tautologią, zaczynamy od postawienia symbolu 0 pod głównym spójnikiem, aby sprawdzić, czy formuła może choć w jednym przypadku wygenerować zdanie fałszywe.

Następnie wpisujemy zgodnie z tabelkami dla odpowiednich spójników symbole 0 i 1, w taki sposób w jaki musiałyby one występować, aby zero pod głównym spójnikiem mogło się pojawić. Czyniąc to wpisujemy tylko to, co wiemy na pewno. Gdy w jakimś miejscu mamy dwie lub trzy możliwości wpisania symboli, nie wpisujemy tam chwilowo nic i przechodzimy dalej, szukając miejsca, gdzie jest tylko jedna możliwość.

Gdy symbol 0 lub 1 pojawi się pod jaką zmienną zdaniową, przepisujemy go wszędzie tam, gdzie dana zmienna występuje w formule.

Na końcu sprawdzamy, czy w naszej formule nie pojawiła się przypadkiem sprzeczność (czy wszystko jest zgodne z tabelkami, czy też nie). Jeżeli sprzeczność (niezgodność z tabelkami) ma się gdzieś pojawić, to dzieje się to na ogół tam, gdzie w ostatnim kroku przepisaliśmy wartości zmiennych. Jeżeli sprzeczności nigdzie nie ma, to znaczy, że formuła może okazać się schematem zdania fałszywego (takie założenie na początku przyjęliśmy wpisując 0 pod głównym spójnikiem), a wiec nie jest ona tautologią. Gdy natomiast w formule pojawi się sprzeczność, oznacza to, że nie może ona wygenerować zdania fałszywego (przyjęte na początku założenie nie daje się utrzymać), a zatem jest ona tautologią.

DO ZAPAMIĘTANIA.

Jeszcze raz cała procedura w telegraficznym skrócie:

1. Zakładamy 0 pod głównym spójnikiem.

2. Wyciągamy z przyjętego założenia wszelkie konsekwencje, wpisując 0 i 1, tam gdzie istnieje tylko jedna możliwość ich wystąpienia.

3. Sprawdzamy, czy wszystko się zgadza z tabelkami (czy nie ma sprzeczności).

4. Ogłaszamy wynik według recepty: jest sprzeczność – formuła jest tautologią, nie ma sprzeczności – formuła nie jest tautologią.