Rozdział I klasyczny rachunek zdań.

Klasyczny rachunek zdań (w skrócie KRZ) jest jednym z najprostszych systemów logiki formalnej. W praktyce może on służyć do sprawdzania poprawności wnioskowań, czyli takich procesów myślowych, podczas których na podstawie uznania za prawdziwe jednych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (wniosku). Dzięki znajomości KRZ każdy może się łatwo przekonać, że na przykład z takich przesłanek jak: Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała oraz Impreza udała się można wywnioskować iż: Na imprezie nie było Zdziśka lub Wacka. Posługując się metodami KRZ można również stwierdzić, iż nie rozumuje poprawne ten, kto z przesłanek: Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zdziśka oraz Wacek jest w barze dochodzi do konkluzji: Wacek dostał wypłatę.

1.1. Schematy zdań.

1.1.1. Łyk teorii.

P ierwszą czynnością, jaką należy przećwiczyć rozpoczynając naukę klasycznego rachunku zdań, jest budowanie logicznych schematów zdań. Budowanie takich schematów przyrównać można do przekładu wyrażeń „normalnego” języka, jakim ludzie posługują się na co dzień, na język logiki, w którym logicy sprawdzają poprawność danego rozumowania.

Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować. Schematy pokazują nam położenie w zdaniach języka naturalnego zwrotów szczególnie istotnych z punktu widzenia logiki – niektórych z tak zwanych stałych logicznych: nieprawda że, i, lub, jeśli... to, wtedy i tylko wtedy. Zwroty te noszą w logice nazwy negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równoważności i będą w schematach zastępowane odpowiednimi symbolami: ~ (negacja),  (koniunkcja),  (alternatywa),  (implikacja),  (równoważność). Wymienione zwroty są (przynajmniej w takich znaczeniach, w jakich przyjmuje je logika) spójnikami łączącymi zdania, dlatego nazywamy je spójnikami logicznymi. Zdania proste, łączone przez spójniki logiczne zastępować będziemy w schematach literami: p, q, r, s, t... itd. Litery p, q, r… nazywamy zmiennymi zdaniowymi (ponieważ zastępują zdania języka naturalnego). Do budowy schematów będziemy też często używali nawiasów, które pełnią rolę podobną do znaków przestankowych w piśmie – pokazują jak schemat należy odczytać, które jego części wiążą się ze sobą ściślej, a które luźniej. Rola nawiasów stanie się jaśniejsza po przerobieniu kilku zadań praktycznych. Przykładowe schematy logiczne zdań mogą wyglądać następująco: p  q, ~ (p  q), p  (r  ~ s), [p  (q  r)]  (s  z).

Zdania wiązane przez spójniki logiczne nazywamy członami tych spójników. Człony równoważności niektórzy nazywają stronami równoważności, natomiast zdania wiązane przez implikację określamy najczęściej mianem poprzednika i następnika implikacji. Jak łatwo się domyśleć, poprzednik to zdanie znajdujące się przez „strzałką” implikacji, a następnik – zdanie po niej.

Uwaga na błędy!

Częstym błędem popełnianym przez studentów jest nazywanie poprzednikiem i następnikiem zdań łączonych przez spójniki inne niż implikacja. Powtórzmy więc jeszcze raz: poprzednik i następnik występują wyłącznie przy implikacji.

Mianem negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równoważności określa się w logice nie tylko spójniki, ale również całe zdania przy ich pomocy tworzone. Na przykład wyrażenie Jeśli Agnieszka zobaczy Ryszarda w tym stanie, to będzie rozczarowana nazywamy zdaniem implikacyjnym lub po prostu implikacją; zdanie Ryszard wykazał się dużym sprytem lub po prostu dopisało mu szczęście nazywamy alternatywą, itd.

Większość spójników (poza negacją) to tak zwane spójniki dwuargumentowe, co oznacza, że łączą one dwa zdania. Niekoniecznie muszą być to jednak zdania proste, równie dobrze mogą być to ujęte w nawiasy złożone wyrażenia. Na przykład w schemacie p  q członami alternatywy są zdania proste oznaczane przez p i q. Jednakże członami koniunkcji w wyrażeniu (p  q)  (r  s) są już wzięte w nawiasy zdania złożone: (p  q) oraz (r  s). Stronami równoważności w kolejnym schemacie są jeszcze dłuższe zdania (ujęte w nawias klamrowy i kwadratowy) {[p  (q  ~ r)]  s}  [t  (w  z)]

Wyrażenia łączone przez spójniki dwuargumentowe występują zawsze po obu stronach spójnika. Tak więc prawidłowe są zapisy: p  q, p  (q  r), natomiast nieprawidłowe:   p q, p (q  r) .

Uwaga na błędy!

W prawidłowo zapisanych schematach nie może nigdy zdarzyć się tak, aby występowały obok siebie dwie zmienne zdaniowe nie oddzielone spójnikiem (np. p  q r), lub dwa spójniki dwuargumentowe (czyli wszystkie oprócz negacji) nie oddzielone zmienną (np. p  q)

Negacja jest tak zwanym spójnikiem jednoargumentowym, co oznacza, że nie łączy ona dwóch zdań, lecz wiąże się tylko z jednym. Podobnie jak w przypadku innych spójników nie musi być to zdanie proste, ale może być ujęta w nawias większa całość. W schemacie ~ p negacja odnosi się do prostego zdania p, jednakże w ~ [(p  q)  r], neguje ona całe wyrażenie ujęte w nawias kwadratowy.

Spójnik negacji zapisujemy zawsze przed wyrażeniem, do którego negacja się odnosi. Prawidłowy jest zatem zapis ~ p, natomiast błędny p ~.

DO ZAPAMIĘTANIA:

Poniższa tabelka pokazuje podstawowe znaczenia spójników logicznych oraz prawidłowy sposób, w jaki występują one w schematach.

Nazwa spójnika	Symbol	Podstawowy odpowiednik w języku naturalnym	Przykładowe zastosowanie
Negacja	~	nieprawda, że	~ p	~ (p  q)
Koniunkcja		i	p  q	p  (~ q  r)
Alternatywa		lub	p  q	(p  q)  (r  ~ s)
Implikacja		jeśli... to	p  q	(p  q)  ~ r
Równoważność		wtedy i tylko wtedy	p  q	(p  ~ q)  (~ r  ~ s)