1.2.2. Praktyka: zastosowanie tabelek.

Dzięki poznanym tabelkom możemy zawsze stwierdzić czy prawdziwe, czy też fałszywe jest zdanie złożone (niezależnie od jego długości), gdy tylko znamy wartości logiczne wchodzących w jego skład zdań prostych.

Przypomnijmy, że wartość logiczna całego zdania złożonego będzie zawsze zobrazowana symbolem 0 lub 1 znajdującym się pod głównym spójnikiem zdania (czyli spójnikiem ostatecznie wiążącym wszystkie elementy zdania).

Przykład:

Obliczymy wartość logiczną zdania p  (q  r) przy założeniu, że zmienne p i q reprezentują zdanie prawdziwe, natomiast zmienna r – zdanie fałszywe, a więc zachodzi sytuacja:

p  (q  r)

1 1 0

Wartość logiczną całego zdania reprezentować będzie symbol umieszczony pod głównym spójnikiem schematu, a więc pod implikacją. Aby określić wartość implikacji musimy znać wartość jej poprzednika i następnika. Poprzednikiem implikacji jest tu zdanie proste p i jego wartość mamy już podaną. Natomiast następnikiem jest tu całe ujęte w nawias wyrażenie (p  q), którego wartość musimy dopiero obliczyć. Robimy to korzystając z tabelki dla koniunkcji, a dokładniej jej wiersza mówiącego, że gdy pierwszy człon koniunkcji jest prawdziwy, a drugi fałszywy, to cała koniunkcja jest fałszywa. Mamy zatem sytuację:

p  (q  r)

1 1 0 0

(symbole podkreślone pokazują wartości, z których skorzystaliśmy do obliczeń)

W tym momencie możemy już określić wartość logiczną całego zdania, sprawdzając w tabelce jaką wartość przyjmuje implikacja, której poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

p  (q  r)

1 0 1 0 0

Ostatecznie widzimy, że całe zdanie jest fałszywe, ponieważ pod głównym spójnikiem otrzymaliśmy wartość 0.

▲

Uwaga na błędy!

Częstym błędem popełnianym przez początkujących jest niedostrzeganie, że zdanie wiązane przez spójnik jest złożone (np. następnik implikacji w powyższym przykładzie). Osoba popełniająca taki błąd może myśleć, że ostateczny wynik należy obliczyć biorąc pod uwagę p jako poprzednik implikacji, a samo q jako jej następnik, a więc:

p  (q  r)

1 1 1 0 0 ŹLE!!!

Nie wolno tak jednak postępować w żadnym wypadku, ponieważ następnikiem implikacji jest całe wyrażenie ujęte w nawiasie, którego wartość znajduje się pod jego głównym spójnikiem, a więc koniunkcją.

Przykład:

Obliczymy teraz wartość logiczną zdania (p  q)  ~ r, przy założeniach: p – 1, q – 0, r – 0, a więc:

(p  q)  ~ r

1 0 0

W tym przypadku głównym spójnikiem jest alternatywa. Oba jej człony stanowią zdania złożone (p  q oraz ~ r), których wartości należy obliczyć najpierw. Korzystamy do tego z tabelek dla implikacji oraz dla negacji.

(p  q)  ~ r

1 0 0 0

(p  q)  ~ r

1 0 0 1 0

Gdy znamy wartości logiczne obu członów alternatywy, możemy obliczyć ostateczny wynik. Czynimy to korzystając z tabelki dla alternatywy i biorąc pod uwagę wartości otrzymane pod implikacją oraz negacją, czyli głównymi spójnikami obu członów alternatywy.

(p  q)  ~ r

1 0 0 1 1 0

▲

Przykład:

Obliczymy wartość logiczną zdania: ~ (p  q)  (~ r  ~ s) przy założeniach: p – 1, q – 0, r – 1, s – 0, a więc:

~ (p  q)  (~ r  ~ s)

1 0 1 0

Głównym spójnikiem jest tu oczywiście równoważność. Obliczanie wartości jej stron rozpocząć musimy od obliczenia wartości koniunkcji w pierwszym nawiasie oraz negacji zdań prostych w drugim.

~ (p  q)  (~ r  ~ s)

1 0 0 1 0

~ (p  q)  (~ r  ~ s)

1 0 0 0 1 1 0

Następnie możemy określić wartość implikacji w drugim nawiasie, biorąc pod uwagę wartości otrzymane pod negacją r oraz negacją s (ponieważ poprzednikiem i następnikiem implikacji są zdania złożone ~ r i ~ s):

~ (p  q)  (~ r  ~ s)

1 0 0 0 1 1 1 0

W tym momencie nie możemy jeszcze przystąpić do określenia wartości logicznej równoważności, ponieważ nie została obliczona do końca wartość jej lewej strony. Pierwszy człon równoważności to bowiem nie sama koniunkcja (p  q), ale dopiero negacja tej koniunkcji. Negacja jest tu głównym spójnikiem (dopiero ona spina koniunkcję w całość), musimy więc najpierw obliczyć wartość negacji:

~ (p  q)  (~ r  ~ s)

1 1 0 0 0 1 1 1 0

Dopiero teraz możemy określić wartość całego zdania:

~ (p  q)  (~ r  ~ s)

1 1 0 0 1 0 1 1 1 0

▲

Uwaga na błędy!

Jeśli negacja znajduje się przed nawiasem (jak w lewej stronie równoważności w przykładzie powyżej), to odnosi się ona do całego zdania w nawiasie, a nie tylko do jego pierwszego członu. Aby poznać wartość tej negacji (a zarazem całego zdania, ponieważ negacja jest jego głównym spójnikiem) bierzemy pod uwagę główny spójnik wyrażenia w nawiasie, a więc:

~ (p  q)

1 1 0 0 DOBRZE

a nie:

~ (p  q)

0 1 0 0 ŹLE!!!

Przykład:

Obliczymy wartość formuły [(p  ~ q)  ~ r]  ~ (~ s  z) przy założeniu, że zdania reprezentowane przez wszystkie zmienne są prawdziwe, a zatem:

[(p  ~ q)  ~ r]  ~ (~ s  z)

1 1 1 1 1

W schemacie powyższym głównym spójnikiem jest koniunkcja łącząca zdanie w nawiasie kwadratowym z zanegowanym zdaniem w nawiasie okrągłym. W pierwszym kroku musimy obliczyć wartość negacji zdań prostych:

[(p  ~ q)  ~ r]  ~ (~ s  z)

1 0 1 0 1 0 1 1

Teraz możemy obliczyć wartość logiczną równoważności i implikacji w okrągłych nawiasach:

[(p  ~ q)  ~ r]  ~ (~ s  z)

1 0 0 1 0 1 0 1 1 1

W kolejnym kroku obliczamy wartości logiczne alternatywy oraz negacji formuły w drugim okrągłym nawiasie:

[(p  ~ q)  ~ r]  ~ (~ s  z)

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1

Ponieważ znamy już wartości członów głównej koniunkcji, możemy określić wartość logiczną całego zdania:

[(p  ~ q)  ~ r]  ~ (~ s  z)

1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1

▲