1.3. Tautologie I kontrtautologie.

1 .3.1. Łyk teorii.

Jak łatwo zauważyć, formuły mogą okazywać się ostatecznie schematami zdań prawdziwych lub fałszywych w zależności od tego, jaką wartość przyjmują zdania proste wchodzące w ich skład. Przykładowo, gdy w schemacie p  ~ q za obie zmienne podstawimy zdania prawdziwe, cała implikacja okaże się fałszywa, gdy natomiast podstawimy za p i q zdania fałszywe, implikacja będzie prawdziwa.

Wśród formuł istnieją jednak też takie, które dają zawsze taki sam wynik, bez względu na wartość logiczną składających się na nie zdań prostych. Schematy, które w każdym przypadku dają ostatecznie zdanie prawdziwe nazywamy tautologiami; schematy, które generują zawsze zdania fałszywe – kontrtautologiami.

1.3.2. Praktyka: sprawdzanie statusu formuł.

Przykład:

Obliczymy wartości logiczne formuły (p  q)  (~ p  q) przy wszystkich możliwych podstawieniach zdań prawdziwych i fałszywych za zmienne zdaniowe. Ponieważ mamy dwie zmienne, mogą zajść cztery sytuacje:

(p  q)  (~ p  q)

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 1 1

Po obliczeniu wartości wyrażeń w nawiasach, będących poprzednikiem i następnikiem głównej implikacji otrzymamy:

(p  q)  (~ p  q)

0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1

O stateczny wynik w każdym przypadku obliczamy następująco:

(p  q)  (~ p  q)

0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

Ponieważ niezależnie od tego jak dobieraliśmy wartości logiczne zmiennych zdaniowych, otrzymaliśmy zawsze zdanie prawdziwe, badany schemat jest tautologią.

▲

Przykład:

S prawdzimy wartości logiczne formuły (p  ~ q)  (p  q) przy wszystkich możliwych podstawieniach zdań prawdziwych i fałszywych za zmienne zdaniowe. Ponieważ jest to dość prosty przykład i jego rozwiązanie zapewne nie sprawi nikomu kłopotu, nie będziemy jego analizy przeprowadzać krok po kroku.

(p  ~ q)  (p  q)

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1 1

Badana formuła daje nam wyłącznie zdania fałszywe, niezależnie jakie zdania podstawimy w miejsce zmiennych. Jest to więc kontrtautologia.

▲

Przykład:

Zbadamy obecnie w podobny sposób formułę:

(~ p  ~ q)  (p  ~ q)

1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1 1 0 0 1

W badanej formule w zależności od tego, jakie zdania podstawialiśmy za zmienne otrzymujemy ostatecznie czasem zdanie prawdziwe, a czasem fałszywe. Formuła nie jest więc ani tautologią ani kontrtautologią.

▲

1.4. Skrócona metoda zerojedynkowa.

1 .4.1. Łyk teorii.

Przedstawiona powyżej metoda badania statusu logicznego formuły (tego, czy jest ona tautologią, kontrtautologią, czy też ani tym, ani tym) nie jest ani najlepsza, ani jedyna. Pokazane przykłady miały za zadanie przede wszystkim usprawnienie umiejętności posługiwania się tabelkami zero-jedynkowymi i wyrobienie sobie ogólnej intuicji czym jest tautologia i kontrtautologia.

Poznana metoda badania formuł, polegająca na sprawdzaniu wszystkich możliwych podstawień zer i jedynek, jest jeszcze możliwa do zaakceptowania w przypadku formuł z dwiema lub ewentualnie trzema zmiennymi zdaniowymi. W przypadku formuł dłuższych staje się na całkowicie niewydolna – na przykład sprawdzenie statusu logicznego formuły mającej cztery zmienne wymagałoby zbadania szesnastu możliwości. Można sobie wyobrazić ile czasu by to zajęło i jak łatwo można by się było w trakcie tych obliczeń pomylić.

Dlatego też do badania formuł wykorzystuje się zwykle tak zwaną skróconą metodę zero-jedynkową (nazywaną też metodą nie wprost), która pozwala na udzielenie odpowiedzi, czy dana formuła jest tautologią lub kontrtautologią często już po rozpatrzeniu jednego przypadku.

Skróconej metodzie badania statusu logicznego formuł poświęcimy znaczną ilość czasu, ponieważ omówimy przy tej okazji różnego rodzaju problemy, jakie mogą się pojawić przy zastosowaniu tabelek zero-jedynkowych również przy innych okazjach, na przykład przy sprawdzaniu poprawności wnioskowań.