6.5. Zależności między relacjami.

6.5.1. ŁYK TEORII.

P onieważ relacje są zbiorami par, mogą one, podobnie jak inne zbiory, pozostawać do siebie w różnych stosunkach: inkluzji, krzyżowania i rozłączności. Zależności te zdefiniowane są tak samo jak w przypadku „zwykłych” zbiorów.

Relacja R zawiera się w relacji T (R  T), gdy każda para należąca do R należy również do T. Przykładowo relacja bycia kuzynem, zawiera się w relacji bycia krewnym.

Relacja R jest rozłączna z relacją T (R )( T), gdy żadna para należąca do R nie należy równocześnie do T. Rozłączne są na przykład relacje bycia starszym i bycia młodszym.

Relacja R krzyżuje się z relacją T (R # T ), gdy istnieją pary należące zarówno do R jak i do T, ale są też takie, które należą jedynie do R i są takie, które należą wyłącznie do T. Przykładowo relacja bycia starszym krzyżuje się z relacją bycia bratem – może być tak, że ktoś jest starszy od kogoś innego, będąc jednocześnie jego bratem, ale można też być od kogoś starszym nie będąc jego bratem, oraz być czyimś bratem nie będąc od niego starszym.

6.5.2. PRAKTYKA: OKREŚLANIE ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY RELACJAMI.

Zadania na określanie zależności pomiędzy relacjami są bardzo proste i jeden przykład powinien tu wystarczyć.

Przykład:

Określimy zależności pomiędzy następującymi relacjami R, S, T, Q: xRy  x jest matką y, xSy  x jest młodszy od y, xTy  x jest starszy od y, xQy  x jest rodzeństwem y.

Oczywiście niemożliwe jest, aby być jednocześnie czyjąś matką i być od tej osoby młodszym, a więc relacje R i S są rozłączne (nie ma par należących jednocześnie do nich obu). Jeśli x jest matką y, to na pewno x jest starszy od y (ale nie na odwrót), a więc relacja R zawiera się w relacji T (każda para należąca do R należy również do T). Nie można być jednocześnie czyjąś matką i rodzeństwem, a więc R jest rozłączna z Q. Z oczywistych powodów rozłączne są również relacje S i T. Rozpatrując relacje S oraz Q należy zauważyć, że można być od kogoś młodszym i być jednocześnie jego rodzeństwem, można być od kogoś młodszym i nie być jego rodzeństwem, a także można być czyimś rodzeństwem i nie być od niego młodszym; a zatem S i Q się krzyżują. Z podobnych powodów krzyżują się T i Q. A zatem, symbolicznie:

R )( S, R  T, R )( Q, S )( T, S # Q, T # Q.

▲

6.5.3. Praktyka: dobieranie relacji będących w różnych stosunkach do podanej.

Zadania związane z zależnościami pomiędzy relacjami mogą też polegać na dobieraniu w stosunku do danej relacji R innych relacji: takiej żeby R się w niej zawierała, żeby ona zawierała się w R, rozłącznej z R i krzyżującej się z R. Zadania takie nie mają jednej odpowiedzi; można wymyślać wiele różnych, równie prawidłowych – wszystko zależy od wyobraźni rozwiązującego.

Przykład:

Do relacji R mieszkania w tym samym mieście (xRy  x mieszka w tym samym mieście co y), dobierzemy S – taką że S  R, T – taką że R  T, Q – taką że Q )( R oraz P taką że P # R

Relacja S ma się zawierać w R, a więc każda para należąca do S musi również należeć do R. Relacją taką jest na przykład relacja mieszkania na tej samej ulicy – jeśli x mieszka na tej samej ulicy co y, to na pewno x mieszka w tym samym mieście co y. Teraz musimy znaleźć relację T, taką żeby R się w niej zawierała; czyli każda para mieszkająca w tym samym mieście musi również należeć do naszej nowej relacji T. Relacją taką może być, na przykład, relacja mieszkania w tym samym kraju. Za przykład relacji Q rozłącznej z R może posłużyć relacja mieszkania w innym mieście. Jako relację krzyżującą się z R możemy podać relację bycia bratem – jedna osoba może być bratem drugiej i mieszkać jednocześnie w tym samym mieście co ta druga, ale można też być czyimś bratem i mieszkać w innym mieście, a także mieszkać z kimś w tym samym mieście, ale nie być jego bratem. A zatem ostateczna, jedna z wielu możliwych, odpowiedź to:

xSy  x mieszka na tej samej ulicy co y,

xTy  x mieszka w tym samym kraju co y,

xQy  x mieszka w innym mieście niż y,

xPy  x jest bratem y.

▲

SŁOWNICZEK:

Iloczyn kartezjański – iloczyn kartezjański zbiorów A i B (A  B) to zbiór wszystkich par, takich w których na pierwszym miejscu jest element zbioru A, a na drugim element zbioru B.

Kwadrat kartezjański – kwadrat kartezjański zbioru A to iloczyn kartezjański A z nim samym, czyli A  A.

Dziedzina lewostronna relacji – zbiór tych obiektów, które pozostają w relacji do jakiegoś obiektu.

Dziedzina prawostronna relacji (przeciwdziedzina) – zbiór tych obiektów, do których jakiś obiekt pozostaje w relacji.

Pole relacji – suma dziedziny lewostronnej i prawostronnej relacji.

218