6.2. Dziedziny I pole relacji.

6.2.1. Łyk teorii.

W każdej relacji możemy określić tak zwaną dziedzinę lewostronną, nazywaną czasem po prostu dziedziną, dziedzinę prawostronną, nazywaną również przeciwdziedziną oraz pole. Dziedzinę lewostronną relacji R oznaczamy symbolicznie D_L(R), dziedzinę prawostronną – D_P(R), natomiast pole – P(R).

Dziedzina lewostronna relacji R, to zbiór takich przedmiotów, które pozostają w R do jakiegoś (przynajmniej jednego) przedmiotu. Symbolicznie możemy to zapisać: D_L(R) = {x: y (xRy)} (dziedzina lewostronna relacji R to zbiór takich x, w stosunku do których istnieje jakiś y, taki że x jest w relacji R do tego y). W praktyce możemy sobie bardzo łatwo uzmysłowić, co jest dziedziną danej relacji, wypisując (lub wyobrażając sobie) pary tworzące tę relację. Dziedzinę lewostronną stanowić będzie zawsze zbiór tych obiektów, które przynajmniej raz znalazły się na pierwszym miejscu w jakiejś parze. Gdy weźmiemy, wspominaną wcześniej relację większości określoną w zbiorze U = {1, 2, 3, 4}, to po przedstawieniu tej relacji jako zbioru par: R = {2,1, 3,1, 3,2, 4,1, 4,2, 4,3}, łatwo zauważymy, że D_L(R) = {2, 3, 4}. W przypadku relacji bycia żoną dziedzinę lewostronną stanowić będzie zbiór kobiet zamężnych.

Dziedzina prawostronna (przeciwdziedzina) relacji R to, jak łatwo się domyślić, zbiór tych przedmiotów, do których jakiś przedmiot pozostaje w R. Symbolicznie: D_P(R) = {y: x (xRy)}. W przypadku naszej relacji większości D_P(R) = {1, 2, 3}, natomiast przeciwdziedzinę relacji bycia żoną stanowić będzie (jeśli ograniczymy się do małżeństw heteroseksualnych) zbiór żonatych mężczyzn.

Pole relacji to po prostu suma dziedziny lewej i prawej. Symbolicznie P(R) = D_P(R)  D_L(R). W naszej relacji większości P(R) = {1, 2, 3, 4}. W tym przypadku pole pokryło się z uniwersum, jednak nie jest to wcale konieczne. Widać to na przykładzie relacji bycia żoną, gdzie pole to zbiór ludzi pozostających w związkach małżeńskich (będących żoną lub mających żonę), a więc nie całe uniwersum.

Uwaga na błędy!

Za błąd może zostać uznane powiedzenie, że polem relacji bycia żoną jest zbiór małżeństw. Zbiór małżeństw to bowiem zbiór, którego elementami są małżeństwa, a nie pojedyncze osoby (ma on w przybliżeniu dwa razy mniej elementów niż zbiór osób pozostających w związkach małżeńskich). Natomiast pole relacji bycia żoną musi być zbiorem złożonym z osób.

6.2.2. Praktyka: określanie dziedzin I pola relacji.

Zadania związane z dziedzinami i polem relacji polegają na określeniu tych własności dla zadanej relacji. Rozwiązywanie takich przykładów nie jest trudne, jeśli tylko pamiętamy, że każdą relację możemy, przynajmniej teoretycznie przedstawić jako zbiór par. Dziedzina lewostronna będzie każdorazowo zbiorem tych elementów, które przynajmniej raz znalazły się w naszych parach na pierwszym miejscu, natomiast dziedzina prawostronna, zbiorem elementów, które przynajmniej raz wystąpiły na drugim miejscu. Po określeniu dziedziny lewej i prawej, wyznaczenie pola jest już banalnie proste.

Przykład:

Określimy dziedzinę, przeciwdziedzinę i pole relacji bycia matką (xRy  x jest matką y) określonej w zbiorze wszystkich ludzi (żyjących kiedykolwiek, a nie tylko aktualnie).

Gdybyśmy chcieli przedstawić naszą relację w postaci zbioru par, to na pierwszym miejscu byłaby każdorazowo kobieta posiadająca przynajmniej jedno dziecko, natomiast na drugim osoba będąca dzieckiem tej kobiety. Oczywiste więc jest, że dziedzinę lewostronną naszej relacji stanowić będzie zbiór kobiet mających dzieci. Dziedzina prawa to zbiór osób, które mają matkę. Ponieważ nasze uniwersum stanowi zbiór wszystkich ludzi kiedykolwiek żyjących, to o każdym człowieku można powiedzieć, że ma on (aktualnie lub kiedyś żyjącą) matkę; każdy więc znajdzie się jako element jakiejś pary z prawej strony. A zatem przeciwdziedzina naszej relacji to zbiór wszystkich ludzi. Skoro jedna z dziedzin stanowi już całe uniwersum, to oczywiste jest, że również pole naszej relacji będzie równe uniwersum, czyli zbiorowi wszystkich ludzi.

▲

Przykład:

Określimy dziedziny i pole określonej w zbiorze liczb naturalnych relacji bycia dwukrotnością (xRy  x jest dwukrotnością y).

Do naszej relacji należeć będą takie pary złożone z liczb naturalnych, gdzie pierwsza liczba będzie dwukrotnością drugiej, a zatem R = {2, 1, 4, 2, 6, 3, 8, 4...}. Po wypisaniu kilku przykładowych par, widać jasno, że dziedzina lewa relacji, to zbiór liczb parzystych, natomiast dziedzina prawa (i jednocześnie pole) to zbiór wszystkich liczb naturalnych, czyli uniwersum.

▲

Przykład:

Określimy dziedziny i pole określonej w zbiorze wszystkich ludzi relacji bycia przeciwnej płci (xRy  x jest przeciwnej płci niż y).

Gdybyśmy chcieli wypisać niektóre z par należących do naszej relacji otrzymalibyśmy R = Jan, Maria, Maria, Mieczysław, Karolina, Zenon, Zenon, Karolina, Zenon, Maria...}

Widać wyraźnie, że każdy człowiek znajdzie się (wielokrotnie) zarówno z lewej strony jakiejś pary, jak i z prawej strony; do każdego można bowiem dobrać kogoś przeciwnej płci. A zatem w tym przypadku dziedzina prawa, równa się dziedzinie lewej, równa się polu relacji i stanowi całe uniwersum, czyli zbiór wszystkich ludzi.

Uwaga na błędy!

W przypadku powyższej relacji częstymi odpowiedziami na pytanie o którąś z dziedzin są dość dziwacznie brzmiące stwierdzenia na przykład: „ludzie przeciwnej płci”, „ludzie określonej płci”, czy też „ludzie jednej płci”. Nie są to jednak dobre odpowiedzi – cóż to bowiem są na przykład „ludzie przeciwnej płci”, jaki dokładnie jest to zbiór?

▲

Przykład:

Określimy dziedziny i pole określonej w zbiorze wszystkich ludzi relacji bycia w tym samym wieku (xRy  x jest w tym samym wieku co y).

Gdybyśmy wypisali pary należące do powyższej relacji, łatwo zauważylibyśmy, że do człowieka mającego np. 20 lat łatwo dobrać kogoś będącego w tym samym wieku; podobnie w stosunku do kogoś mającego np. 15 lat, 23 lata, 35 lat, 78 lat itd. Wątpliwości może budzić fakt, czy jesteśmy w stanie stworzyć parę z kimś mającym przykładowo 108 lat, zakładając że jest to jedyny człowiek na świecie w tym wieku. Otóż zawsze możemy to uczynić, tworząc parę złożoną z tego człowieka występującego zarówno na pierwszym miejscu, jak i na drugim; w przypadku tej relacji bowiem każdy, oprócz możliwości bycia w niej w stosunku do innych osób, pozostaje w niej również do samego siebie. Każdy jest bowiem w tym samym wieku, w którym jest on sam. Każdy więc, przynajmniej w tym jednym przypadku, wystąpi zarówno na pierwszym, jak i na drugim miejscu w pewnej parze.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, dziedzina lewa naszej relacji równa się dziedzinie prawej, równa się polu i stanowi całe uniwersum, czyli zbiór wszystkich ludzi.

▲