Rozdział VI relacje.

WSTĘP.

Obecny rozdział poświęcony będzie relacjom. Z relacjami zetknęliśmy się już w części poświęconej rachunkowi predykatów. Obecnie zostaną one omówione o wiele dokładniej. Będzie to rozdział najbardziej teoretyczny ze wszystkich; zadania będą stanowiły niewielki procent całości. Wynika to z faktu, iż związane z relacjami zadania polegają zwykle na wykrywaniu pewnych własności podanych relacji. Aby móc je rozwiązać, trzeba przede wszystkim posiadać teoretyczną wiedzę o tych własnościach. Gdy wiedza ta zostanie zdobyta, rozwiązanie takiego zadania jest zwykle niemal oczywiste.

6.1. Co to jest relacja.

6.1.1. ŁYK TEORII.

R elacja to pewien związek łączący obiekty. Mówiąc „relacja” mamy zwykle na myśli tak zwaną relację dwuczłonową, czyli związek łączący dwa obiekty. Taką relacją jest na przykład bycie starszym – pewna osoba x jest starsza od innej osoby y; inne przykłady to bycie żoną – osoba x jest żoną osoby y, lubienie – osoba x lubi osobą y itp.

Dla porządku dodajmy, że relacje mogą mieć dowolną ilość członów. Relacje jednoczłonowe (odnoszące się do jednego obiektu) nazywamy własnościami – tego typu relacje, to na przykład bycie wysokim, bycie w wieku 25 lat, bycie kobietą itp. Przykładem własności trójczłonowej jest słuchanie rozmowy – osoba x słucha rozmowy osoby y z osobą z. Relacjami innymi niż dwuczłonowe nie będziemy się jednak zajmować; mówiąc relacja – bez dodania do niej żadnego przymiotnika, będziemy mieli na myśli zawsze relację dwuczłonową.

Symbolicznie relacje możemy oznaczać na różne sposoby. Zwykle fakt, ze dwa obiekty x i y są ze sobą w relacji R zapisujemy R(x,y) lub xRy. Spotyka się też zapis (x,y)  R (para x, y należy do relacji R).

Do lepszego zrozumienia relacji potrzebne nam będzie pojęcie tak zwanej pary uporządkowanej oraz iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów.

Para uporządkowana.

Jak pamiętamy z poprzedniego rozdziału, w zwykłym zbiorze nie jest istotna kolejność elementów, w jakiej je wypiszemy. I tak na przykład zbiór X = {a, b} jest równy zbiorowi Y = {b, a}. Inaczej ma się rzecz w przypadku tak zwanych par uporządkowanych, w skrócie zwanych po prostu parami. Elementy par wypisujemy w nawiasach skośnych, np. a, b lub, czasem, zwykłych – (a, b). W przypadku pary kolejność elementów ma kluczowe znaczenie. I tak para a, b nie jest równa parze b, a; są to zupełnie różne obiekty.

Iloczyn kartezjański.

Iloczyn kartezjański to pewne specyficzne działanie na zbiorach, o którym jednak nie było mowy w rozdziale poświęconym zbiorom. Iloczyn kartezjański symbolicznie oznaczamy znakiem . Zbiór, który powstaje w wyniku wykonania takiego działania, nie jest zwykłym zbiorem, ale zbiorem, którego elementy stanowią pary. Dokładniej, iloczyn kartezjański zbiorów X i Y (czyli X  Y) to zbiór wszystkich par, takich, w których na pierwszym miejscu jest element zbioru X, a na drugim element zbioru Y. Przykładowo, jeśli X = {a, b, c}, natomiast Y = {1, 2}, to iloczyn kartezjański X  Y = {a, 1, a, 2 , b, 1, b, 2, c, 1, c, 2}.

Kwadrat kartezjański jakiegoś zbioru X, oznaczany symbolicznie X², to nic innego, jak iloczyn kartezjański zbioru X z sobą samym, czyli X  X. Jeśli zatem X = {a, b, c}, to X² = {a, a, a, b , a, c, b, a, b, b, b, c, c, a, c, b, c, c}

Pojęcia pary uporządkowanej oraz iloczynu kartezjańskiego łączy się z teorią relacji w ten sposób, że każdą relację możemy przedstawić (przynajmniej teoretycznie) jako zbiór par. Jeśli relacja określona jest w pewnym uniwersum, to możemy powiedzieć, że relacja ta zawiera się w kwadracie kartezjańskim tego uniwersum (stanowi podzbiór kwadratu kartezjańskiego tego uniwersum). Mówiąc po prostu, relacja to niektóre (a czasem wszystkie) pary, jakie można utworzyć z elementów uniwersum.

Najlepiej wyjaśnić to na przykładzie. Weźmy uniwersum złożone z czterech liczb U = {1, 2, 3, 4} i określmy w tym zbiorze relację większości. Bardziej formalnie relację tę możemy zapisać tak: xRy  x > y. Relacja nasza zawiera się w kwadracie kartezjańskim uniwersum (symbolicznie R  U²), ponieważ należą do niej niektóre z par liczb, które to pary możemy utworzyć z uniwersum. Relację naszą możemy przedstawić jako następujący zbiór par, w których pierwsza liczba jest większa od drugiej: R = {2,1, 3,1, 3,2, 4,1, 4,2, 4,3}.

Gdybyśmy w uniwersum złożonym z ludzi chcieli utworzyć relację bycia żoną, to relację tę moglibyśmy przedstawić jako zbiór takich par, gdzie pierwsza osoba jest żoną drugiej osoby: R = {Maria Kowalska, Jan Kowalski, Danuta Wałęsa, Lech Wałęsa, Hilary Clinton, Bill Clinton... itd. }. Oczywiście wypisanie wszystkich par należących do naszej relacji nie jest praktycznie możliwe, jednak nie ulega wątpliwości, że jest to podzbiór kwadratu kartezjańskiego zbioru ludzi, czyli R  U².