5.3. Działania na zbiorach.

5.3.1. Łyk teorii.

N a zbiorach można wykonywać różne działania, w wyniku których powstają nowe zbiory.

Poniżej omówimy najważniejsze z nich.

Suma.

Suma zbiorów A i B, to zbiór powstały ze wszystkich elementów A i B. Obrazowo tworzenie sumy zbiorów możemy sobie wyobrazić, jako wsypywanie elementów dodawanych zbiorów do jednego dużego worka, który reprezentuje ich sumę. Przykładowo sumą zbiorów mężczyzn i zbioru kobiet jest zbiór wszystkich ludzi. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem .

Warto zauważyć, że gdy jeden zbiór zawiera się w drugim, to ich sumą jest zbiór „większy”.

Iloczyn.

Iloczyn zbiorów A i B to po prostu część wspólna tych zbiorów; zbiór utworzony z tych elementów, które należą jednocześnie do A i B. Przykładowo, iloczynem zbioru kobiet oraz osób palących jest zbiór palących kobiet.

Iloczyn zbiorów nazywany bywa również ich przekrojem. Oznaczamy go symbolem .

Warto zapamiętać, że gdy jeden zbiór zawiera się w drugim, to ich iloczynem jest zbiór „mniejszy”. Jeśli natomiast zbiory są rozłączne, to ich iloczynem jest zbiór pusty.

Różnica.

Różnica zbiorów A i B to zbiór utworzony z elementów, które należą do A i jednocześnie nie należą do B. Obrazowo tworzenie różnicy zbiorów A i B możemy sobie wyobrazić jako wykreślanie ze zbioru A elementów, które są również w B; to co pozostanie, to właśnie różnica A i B. Przykładowo różnicą zbioru mężczyzn oraz osób palący jest zbiór niepalących mężczyzn. Różnicę oznaczamy symbolem kreski poziomej lub skośnej, czyli: – lub /.

Warto zapamiętać, że jeśli od dowolnego zbioru A odejmujemy jakiś zbiór z A rozłączny, to A pozostaje „nienaruszony”; wynikiem takiego działania jest A.

Dopełnienie.

Dopełnienie, to działanie trochę inne od dotychczas omawianych. Dotyczy ono bowiem nie dwóch zbiorów, ale tylko jednego. Dopełnienie pewnego zbioru A to zbiór tych obiektów, które nie należą do A. Dopełnienie wykonujemy zawsze w odniesieniu do tak zwanego uniwersum, czyli dziedziny, w której się poruszamy. Przykładowo, jeśli uniwersum stanowi zbiór ludzi, to dopełnieniem zbioru ludzi palących jest zbiór ludzi niepalących (a nie zbiór wszystkich istot i przedmiotów niepalących). Dopełnienie oznaczamy symbolem „prim”

Warto zapamiętać, że dopełnieniem uniwersum jest zawsze zbiór pusty, a dopełnieniem zbioru pustego uniwersum: U’ = , ’ = U.

Ponadto suma dowolnego zbioru oraz jego dopełnienia da nam zawsze uniwersum (A  A’ = U), natomiast iloczyn dowolnego zbioru i jego dopełnienia to zawsze zbiór pusty (A  A’ = ).

5.3.2. Praktyka: wykonywanie działań na zbiorach.

Obecnie wykonamy kilka przykładowych działań na podanych zbiorach.

Przykład:

Przyjmiemy uniwersum U = {1, 2, 3, 4, 5}, oraz następujące zbiory:

A = {4}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 3, 4}, D = {1, 2, 4}.

Na zbiorach tych wykonamy kilka działań.

a) B  D

Suma dwóch zbiorów powstaje przez połączenie ich elementów w jednym zbiorze. Jeśli jakiś element występuje w obu zbiorach, to wypisujemy go tylko raz, a więc B  D = {1, 2, 3, 4}.

b) D  B

Iloczyn zbiorów to ich część wspólna. Zbiory D i B mają tylko jeden wspólny element – 2. A więc, D  B = {2}.

c) D’

Dopełnienie zbioru to zbiór złożony z tych elementów uniwersum, które nie należą do rozpatrywanego zbioru. A zatem: D’= {3, 5}.

d) C – B

Różnica C i B to zbiór z tych elementów C, których nie ma w B. Warunek ten spełniają: 1 i 4 . A zatem: C – B = {1, 4}.

e) B – C

Różnicę B i C tworzymy biorąc zbiór B i „wykreślając” z niego te elementy, które znajdziemy również w C. Okazuje się, że postępując w ten sposób, pozbywamy się wszystkich elementów. Czyli: B – C = .

Zauważmy, że wynik różnicy (podobnie jak odejmowania liczb) zależy od kolejności zbiorów; B – C, to co innego niż C – B.

f) B’ – A

W powyższym przykładzie mamy dwa działania. Najpierw musimy wykonać B’, a potem od tego odjąć zbiór A. Dopełnienie B to zbiór: {1, 4, 5}. Gdy odejmiemy od niego A, czyli {4}, zostanie zbiór złożony z 1 i 5. A zatem: B’ – A = {1, 5}.

g) C  D’

Dopełnienie zbioru D, to {3, 5}. Z elementów tych jedynie 3 jest elementem C, a więc: C  D’ = {3}.

h) D – (A  C)

W tym przypadku musimy najpierw wykonać działanie w nawiasie. Iloczyn A i C to zbiór {4}. A więc ostatecznie wykonujemy działanie: D – {4}. Tak więc D – (A  C) = {1, 2}

i) D – (C  B)

Suma C i B, które to działanie musimy wykonać najpierw, to zbiór: {1, 2, 3, 4}. Gdy odejmiemy go od zbioru D, otrzymamy zbiór pusty. Zatem: D – (C  B) = 

▲

Przykład:

Przyjmując uniwersum U – zbiór wszystkich kwiatów, oraz zbiory:

A – zbiór tulipanów,

B – zbiór róż,

C – zbiór kwiatów czerwonych,

D – zbiór białych róż,

wykonamy na tych zbiorach kilka działań.

a) B  C

Część wspólna zbiorów róż oraz kwiatów czerwonych to niewątpliwie zbiór czerwonych róż.

b) B  D

Do B, czyli zbioru róż, dodajemy zbiór białych róż, a więc zbiór w nim już zawarty. W takim przypadku wynikiem działania jest B – zbiór róż.

c) A’ C

Dopełnienie A to zbiór kwiatów nie będących tulipanami. Część wspólna tego zbioru ze zbiorem kwiatów czerwonych to, mówiąc najkrócej, czerwone nie-tulipany.

d) A – C’

Dopełnienie C to zbiór kwiatów we wszystkich innych kolorach, oprócz czerwonego. Jeśli od zbioru tulipanów, takie nie-czerwone kwiaty odejmiemy, pozostaną nam jedynie czerwone tulipany.

e) B’– A

B’ to zbiór wszystkich kwiatów nie będących różami. Od takiego zbioru odejmujemy jeszcze zbiór tulipanów. Zostaje nam więc zbiór wszystkich kwiatów za wyjątkiem róż i tulipanów.

f) D – B’

Od zbioru białych róż odejmujemy zbiór kwiatów nie będących różami. Obrazowo rzecz ujmując, od zbioru D próbujemy odjąć coś, czego w nim nie ma. W takim przypadku D pozostaje „nienaruszony”. Wynikiem działania jest więc zbiór białych róż.

g) B  C

Do zbioru róż dodajemy wszelkie czerwone kwiaty. Otrzymujemy więc zbiór składający się ze wszystkich róż (bez względu na kolor) oraz pozostałych kwiatów będących jednak tylko czerwonymi.

h) (A  B) – C

Suma w nawiasie, to zbiór złożony z róż i tulipanów. Jeśli od takiego zbioru odejmiemy kwiaty czerwone, otrzymamy zbiór róż i tulipanów w innych niż czerwonym kolorze.

i) (B – D)  A

Wynikiem działania w nawiasie jest zbiór róż, które nie są białe. Jeśli dodamy do niego zbiór A, otrzymamy zbiór składający się z takich nie-białych róż oraz (wszystkich) tulipanów.

j) (D – B)  C’

Gdy od zbioru białych róż odejmiemy róże, pozostanie nam zbiór pusty. Iloczyn (czyli część wspólna) zbioru pustego z dowolnym zbiorem, to też zbiór pusty, a zatem wynikiem całego działania jest .

k) D  D’

Do białych róż musimy dodać pozostałe kwiaty. Suma jakiegokolwiek zbioru i jego dopełnienia to zawsze całe uniwersum, a więc, w tym wypadku, zbiór wszystkich kwiatów.

▲