5.2.3. Utrudnienia I pułapki.

P omiędzy zbiorami może zachodzić jeszcze jeden stosunek, trochę innego typu niż omówione wyżej. Może się mianowicie zdarzyć tak, że jeden zbiór sam jest elementem innego zbioru, czyli: A  B. Aby tak było, zbiór B musi szczególnym rodzajem zbioru – takim, którego elementy (przynajmniej niektóre) są zbiorami. Sytuacja taka zachodzi na przykład w stosunku do następujących zbiorów: A – zbiór kanarków, B – zbiór, którego elementami są zbiory ptaków poszczególnych gatunków.

Bardzo istotne jest, aby nie mylić zawierania się zbiorów, czyli zależności A  B oraz bycia elementem (należenia), czyli A  B. Pierwsza zależność, inkluzja (), oznacza, że każdy element zbioru A jest również elementem zbioru B. Należenie () natomiast, oznacza, że sam zbiór A, jako całość, jest elementem zbioru B. W przypadku przedstawionych wyżej zbiorów A nie zawiera się w B, bo nie jest tak, aby każdy kanarek (elementy A) był jednocześnie zbiorem ptaków jakiegoś gatunku (elementy B). Natomiast A jako całość (czyli zbiór kanarków), jest jednym z elementów B.

Stosunek należenia (jeśli zachodzi), jest zależnością, która występuje niejako obok „zwykłych”, omawianych wyżej relacji między zbiorami. Znaczy to, że pewien zbiór A należąc do zbioru B (będąc elementem B) może jednocześnie być z nim rozłączny, zawierać się w nim lub krzyżować.

Przykład:

Zobaczmy w jakich stosunkach pozostają do siebie zbiory:

A = {a, b},

B = { {a, b}, {c, d, e} },

C = {a, b, c, d, e},

D = {a, b, {a, b} },

E = {a, d, e, {a, b} }

Zbiory A i B nie mają wspólnych elementów, ponieważ elementami A są „zwykłe” obiekty a oraz b, natomiast elementami B są zbiory. Tak więc A i B są rozłączne. Jednocześnie jednak zbiór A sam jest jednym z elementów zbioru B. W przypadku A oraz C sprawa jest oczywista: każdy element A jest elementem C, a zatem A zawiera się w C. Porównując A oraz D widzimy, że każdy element A jest elementem D. D ma jednak również trzeci element będący zbiorem; a ten zbiór, to nic innego, jak A. A zatem A zawiera się w D i jednocześnie należy do D. Jeśli chodzi o zbiory A i E, to mają one jeden element wspólny (a), ale też każdy z nich ma też takie elementy, których nie ma w drugim (b w zbiorze A oraz d, e i {a, b} w zbiorze E. Tak więc zbiory te się krzyżują. Równocześnie jednak A sam jest jednym z elementów E.

Porównując B oraz C już na pierwszy rzut oka widzimy, że nie mogą mieć one żadnego wspólnego elementu, ponieważ elementami B są zbiory, natomiast elementami C „zwykłe” obiekty. Tak więc B i C są rozłączne. Zbiory B i D mają jeden wspólny element: zbiór {a, b}. Jednocześnie w B jest element, którego nie ma D – zbiór {c, d, e}, natomiast w D elementy, których nie ma w B – a, b. Zbiory B i D się zatem krzyżują. Analogiczna sytuacja zachodzi w przypadku B i E.

Nie powinno nikomu sprawić trudności zauważenie, że krzyżują się również zbiory C i D, C i E oraz D i E.

Ostateczne rozwiązanie, to zatem:

A )( B i A  B, A  C, A  D i A  D, A # E i A  E,

B )( C, B # D, B # E,

C # D, C # E,

D # E.

▲

Zadanie:

Określimy zależności pomiędzy następującymi zbiorami.

A – zbiór studentów, którzy zdali logikę na 5,

B – zbiór studentów, którzy zdali logikę na 3,

C – zbiór studentów leniwych,

D – zbiór, którego elementami są zbiory studentów, którzy zdali logikę na taką samą ocenę.

Zbiory A i B są rozłączne (oczywiście przy założeniu, że nikt nie zdawał logiki dwukrotnie, na przykład „za kolegę”). A i C się krzyżują: na pewno są studenci, którzy zdali logikę na 5, będąc jednocześnie leniwymi, ale też są tacy, którzy otrzymali 5 i są pracowici, a także i tacy, którzy są leniwi i nie dostali 5. Zbiory A i D nie mogą mieć żadnego wspólnego elementu z tej prostej przyczyny, że elementami A są „zwykli” studenci, natomiast elementami D zbiory studentów; A i D mają więc elementy różnych typów. Oprócz tego, że są to zbiory rozłączne, zachodzi jednak między nimi jeszcze jeden stosunek: zbiór A sam jest jednym z elementów zbioru D. Gdybyśmy bowiem wypisali sobie elementy zbioru D, to byłyby to: zbiór studentów, którzy zdali logikę na 5, zbiór studentów, którzy zdali logikę na 4, zbiór studentów, którzy zdali logikę na 3 i zbiór studentów, którzy zdali logikę na 2. Zbiór A zatem należy do D.

Zbiory B i C się krzyżują, podobnie jak A i C. Natomiast w przypadku B i C, analogicznie jak w A i D, zachodzą dwa stosunki: rozłączności i należenia.

W przypadku C i D mamy do czynienia tylko z rozłącznością. Zbiory te nie mają wspólnych elementów, gdyż elementami pierwszego są studenci, a drugiego zbiory. Jednocześnie jednak C sam nie jest jednym z elementów D.

Ostateczne rozwiązanie:

A )( B, A # C, A )( D i A  D,

B # C, B )( D i B  D,

C )( D.

▲