5.2.2. Praktyka: określanie zależności między zbiorami.

Zadania związane ze stosunkami między zbiorami polegają zwykle na określeniu zależności pomiędzy kilkoma podanymi zbiorami. Po nabraniu pewnej wprawy, zadania tego typu są bardzo łatwe i rozwiązywać je można „od ręki”, bez stosowania jakichkolwiek systematycznych metod. Na początku można posłużyć się metodą eliminacji, po kolei sprawdzając, czy zachodzi dany stosunek, zaczynając od tych, które najłatwiej jest stwierdzić i ewentualnie odrzucić. Przykładowa procedura może wyglądać następująco:

1. Najpierw sprawdzamy, czy zbiory mają te same elementy. Jeśli tak, to znaczy, że są one identyczne, jeśli nie, szukamy dalej.

2. Sprawdzamy wtedy, czy badane zbiory mają choć jeden wspólny element. Jeśli nie mają, znaczy to, że są one rozłączne.

3. Jeśli natomiast zbiory mają jakieś wspólne elementy, to pytamy, czy może jest tak, że każdy element pierwszego jest elementem drugiego lub każdy element drugiego elementem pierwszego. Jeśli tak jest, to znaczy to, że jeden ze zbiorów zawiera się drugim (zachodzi inkluzja).

4. Jeśli tak nie jest, to zbiory muszą się krzyżować – jest to ostatnia możliwość, która nam została. Dla sprawdzenia, możemy zadać sobie pytanie, czy oprócz elementów wspólnych dla obu zbiorów są też takie, które są tylko w jednym i takie, które są tylko w drugim. Jeśli nigdzie wcześniej nie popełniliśmy błędu, to odpowiedź na to pytanie musi być twierdząca.

Przykład:

Sprawdzimy, jakie zachodzą stosunki między następującymi zbiorami:

A = {4}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 3, 4}, D = {1, 2, 4}.

Zaczynamy od sprawdzenia, w jakich stosunkach do innych zbiorów pozostaje A. Zbiory A i B nie mają żadnego wspólnego elementu, więc są one rozłączne. W przypadku A i C zachodzi sytuacja przedstawiona w punkcie 3) – każdy element A jest elementem C, a więc A zawiera się w C. Z podobną sytuacją mamy do czynienia w przypadku zbiorów A i D – A zawiera się w D.

Następnie przechodzimy do zbadania, w jakich zależnościach do innych zbiorów pozostaje B. Ponieważ stosunek pomiędzy B i A już znamy, zaczynamy od B i C. Po odrzuceniu dwóch pierwszych możliwości widzimy, że każdy element B jest również elementem C, a zatem B zawiera się w C. W przypadku zbiorów B i D widzimy, że nie są one na pewno identyczne ani rozłączne; nie jest też tak, aby każdy element jednego był elementem drugiego. A zatem zbiory te muszą się krzyżować. Faktycznie mają one element wspólny – 2, ale jest też taki element który jest tylko w B – 3 oraz elementy będące tylko w D – 1 i 4. Pozostało nam jeszcze określenie stosunku pomiędzy zbiorami C i D. Tutaj widzimy, że każdy element D jest elementem C. A więc zbiór D zawiera się w C. Pamiętamy, że w przypadku inkluzji istotne jest, który zbiór zawiera się w którym, a więc piszemy: D  C. Ostateczne rozwiązanie zadania wygląda następująco:

A )( B, A  C, A  D, B  C, B # D, D  C

▲

Przykład:

Określimy stosunki pomiędzy następującymi zbiorami:

A – zbiór studentów prawa,

B – zbiór studentów,

C – zbiór studentów dziennych,

D – zbiór studentów matematyki.

W przypadku zbiorów A i B już na pierwszy rzut oka widać, że każdy element A jest elementem B (każdy student prawa jest studentem), a więc A zawiera się w B. W odniesieniu do zbiorów A i C odrzucamy pierwsze trzy możliwości, co świadczy, że zbiory te się krzyżują. Faktycznie mają one elementy wspólne: dziennych studentów prawa, ale są też obiekty będące elementami tylko zbioru A (zaoczni studenci prawa) oraz będące elementami tylko C (studenci dzienni innego niż prawo kierunku – np. filozofii). W przypadku zbiorów A oraz D z powodu braku danych empirycznych trudno dać jednoznaczną odpowiedź. Albo jest tak, że zbiory te są rozłączne (jeśli żaden student prawa nie studiuje jednocześnie matematyki), albo też, jeśli znajdzie się choć jedna osoba studiująca oba te kierunki, zbiory te się krzyżują. Zauważmy, że jeśli będziemy rozpatrywać wszystkich studentów na całym świecie, to zapewne zbiory te się krzyżują, jeśli natomiast ograniczymy nasze rozważania do jakiegoś wybranego niewielkiego uniwersytetu, to mogą być one rozłączne. Na pewno natomiast nie są to zbiory identyczne, ani też jeden z nich nie zawiera się w drugim.

Jeśli chodzi o zbiór B i C oraz B i D, to w każdym z tych przypadków zachodzi inkluzja. Pamiętamy jednak o właściwej kolejności: to C zawiera się B (każdy student dzienny jest studentem) oraz D zawiera się w B (każdy student matematyki jest studentem) a nie na odwrót. W przypadku zbiorów C i D zachodzi krzyżowanie – istnieją dzienni studenci matematyki, a także dzienni studenci innych kierunków, oraz zaoczni studenci matematyki.

Ostateczna odpowiedź, to zatem:

A  B, A # C, A )( D lub A # D, C  B, D  B, C # D.

▲