5.2. Stosunki między zbiorami.
5.2.1. Łyk teorii.
Z biory mogą pozostawać względem siebie w różnych zależnościach.
Identyczność.
Mówimy, że dwa zbiory są sobie równe lub że są identyczne, gdy mają dokładnie te same elementy. Identyczność dwóch zbiorów oznaczamy symbolem: =. Posługując się znanymi z rachunku zdań i predykatów symbolami, możemy identyczność zbiorów zdefiniować:
A = B x (x A x B)
(To, że A i B są równe, oznacza, że dla każdego x to, że x należy do A jest równoważne temu, że x należy do B)
Przykładowo identyczne są zbiory A – zbiór liczb parzystych oraz B – zbiór liczb podzielnych przez 2. Równe są też zbiory A = {a, b, c, d} i B = {b, d, c, a}.
Inkluzja (zawieranie się zbiorów).
Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (A pozostaje w stosunku inkluzji do B), gdy każdy element A jest jednocześnie elementem B (choć niekoniecznie na odwrót). Inkluzję oznaczamy symbolem: . Zawieranie się zbiorów możemy przedstawić wzorem:
A B x (x A x B)
Inkluzja zachodzi na przykład pomiędzy zbiorami: A = {a, b}, B = {a, b, c, d} lub A – zbiór krokodyli, B – zbiór gadów.
Jeśli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to możemy też powiedzieć, że A jest podzbiorem B.
Rozłączność.
Zbiory A i B są rozłączne, gdy nie mają żadnego elementu wspólnego. Rozłączność oznaczamy: )(. Symbolicznie:
A )( B x (x A x B) lub ~ x (x A x B)
Przykładowo, rozłączne są zbiory A = {a, b, c} i B = {d, e} lub A – zbiór ssaków, B – zbiór płazów.
Krzyżowanie.
Zbiory się krzyżują gdy mają one pewne elementy wspólne, ale oprócz nich w każdym zbiorze znajdują się również takie obiekty, których nie ma w drugim. Krzyżowanie zbiorów oznaczamy najczęściej przy pomocy dwóch zazębiających się nawiasów, jednakże z przyczyn technicznych (brak takiego symbolu w edytorze tekstu) będziemy na oznaczenie krzyżowania używali obecnie znaku: #. Symbolicznie krzyżowanie zbiorów definiujemy:
A # B x (x A x B) x (x A x B) x (x A x B)
Krzyżują się na przykład zbiory: A = {a, b, c, d} i B = {a, b, e} lub A – zbiór ssaków, B – zbiór drapieżników (istnieją ssaki będące drapieżnikami, ale też ssaki nie będące drapieżnikami oraz drapieżniki nie będące ssakami).
Odnośnie przedstawionych zależności pomiędzy zbiorami dobrze jest zauważyć, że stosunki identyczności, rozłączności oraz krzyżowania się zbiorów są symetryczne. Oznacza to, że jeśli taka zależność zachodzi „w jedną stronę”, to zachodzi również „w drugą”. Jeśli A = B, to również B = A, jeśli A )( B, to również B )( A, a jeśli A # B, to również B # A. A zatem w przypadku tych stosunków nie jest istotna kolejność, w jakiej wypiszemy pozostające w nich zbiory. Inaczej ma się sytuacja w przypadku inkluzji. Tu fakt, że A B, nie oznacza, że B A.
Zależności między zbiorami można przedstawić graficznie:
A
B
B
A
Identyczność (A = B) Inkluzja (A B)
A
B
A
B
Rozłączność (A )( B) Krzyżowanie (A # B)