Rozdział V zbiory.

WSTĘP.

Obecny rozdział wraz z kolejnym – poświęconym relacjom, pełnią rolę w pewnym sensie pomocniczą. Omawiane w nich problemy nie dotyczą bezpośrednio logiki w jej tradycyjnym rozumieniu, jako dziedziny zajmującej się badaniem poprawności wnioskowań. Ponieważ jednak w XX wieku logika została silnie związana z matematyką, takie dziedziny jak teoria zbiorów i relacji uważane są współcześnie za jej pełnoprawne działy.

Ze zbiorami i relacjami spotkaliśmy się już we wcześniejszych rozdziałach. Obecnie pojęcia te zostaną omówione w sposób bardziej ścisły i systematyczny. Będzie się to wiązało, niestety, z większą ilością koniecznej to opanowania teorii. Jednakże, jak zwykle, największy nacisk położony zostanie na rozwiązywanie typowych zadań, spotykanych w podręcznikach do logiki w częściach poświęconych zbiorom i relacjom.

5.1. Podstawowe wiadomości o zbiorach.

5.1.1. Łyk teorii.

Z biór to pewna kolekcja obiektów. Mówimy, na przykład, o zbiorze znaczków pocztowych, zbiorze liczb nieparzystych, zbiorze nudnych książek, zbiorze studentów itp., itd. Zbiory oznaczamy najczęściej dużymi literami, na przykład X, Y, Z lub A, B, C, D itd. Jeśli wypisujemy elementy jakiegoś zbioru, to zwykle umieszczamy je w nawiasach klamrowych, oddzielając od siebie przecinkami, na przykład: {a, b, c ,d}. W zbiorze nie jest istotna kolejność, w jakiej elementy zostały przedstawione. Na przykład poniższe zbiory A i B są sobie równe (identyczne): A = {a, b, c}, B = {c, a, b}. Również fakt, że jakiś element zostaje, z jakichś powodów, wymieniony kilkakrotnie, nie zmienia w niczym zbioru. Przykładowo zbiór C = {a, a, c, b, a, b, c, a} jest identyczny z wymienionymi wcześniej A i B; każdy z tych zbiorów (również C!) zawiera trzy elementy – a, b, oraz c.

Szczególnym zbiorem jest tak zwany zbiór pusty, który nie zawiera żadnego elementu. Zbiór pusty oznaczamy zwykle symbolem  – bez żadnych nawiasów klamrowych.

Fakt, że jakiś obiekt jest elementem pewnego zbioru oznaczamy symbolem: . Symbol ten odczytujemy jako „należy” lub „jest elementem”. W odniesieniu do powyższego przykładu możemy więc napisać: a  A, b  A oraz c  A. To, że obiekt nie jest elementem zbioru, zapisujemy przy pomocy znaku: . Powiemy, na przykład: d  A.

Wypisanie elementów w klamrowych nawiasach nie jest jedyną metodą przedstawienia zbioru. Można to uczynić również podając swego rodzaju „przepis” według którego ktoś, gdyby chciał, mógł elementy zbioru wypisać. „Przepis” taki może być mniej lub bardziej formalny. Zbiór D = {1, 2, 3, 4} możemy przedstawić na przykład: D – zbiór liczb naturalnych mniejszych od 5; lub bardziej formalnie: D = {x: x  N  x  5} (gdzie N oznacza zbiór liczby naturalnych). Zapis typu {x: ...} odczytujemy: „zbiór takich iksów (elementów), że...”, a więc, w naszym wypadku, powiedzielibyśmy: zbiór takich x, które są liczbami naturalnymi i są jednocześnie mniejsze od 5.

Elementami jakiegoś zbioru mogą być nie tylko „zwykłe” obiekty, ale również inne zbiory. Na przykład X = { {a, b}, {c}, {d, e, f, g} }. Zbiór X ma trzy elementy, które z kolei same też są zbiorami. To, że te „pomniejsze” zbiory też mają swoje elementy, nie ma żadnego wpływu na ilość elementów X. X ma trzy elementy, ponieważ w jego „głównych” nawiasach klamrowych znajdują się trzy obiekty oddzielone przecinkami.

Oczywiście zbiory mogą mieć elementy różnego typu: zarówno „zwykłe” przedmioty, jak i inne zbiory. Na przykład: Y = { {a, b}, c, d, {e, f, g, h} }; zbiór Y ma cztery elementy: c, d, {a,b} i {e, f, g, h}.

Określając elementy zbiorów trzeba bardzo uważnie przyglądać się nawiasom klamrowym. Przykładowo zupełnie różne są zbiory: A = {a, b, c} oraz E = { {a, b, c} }. Zbiór A ma trzy elementy, natomiast E jeden, sam będący zbiorem.

Trzeba również koniecznie zdać sobie sprawę, że różne od siebie są następujące zbiory: F = {a} oraz G = { {a} }. Wprawdzie obydwa mają po jednym elemencie, jednak elementem F jest po prostu „zwykły” obiekt a, natomiast elementem zbioru G jest zbiór, którego elementem jest a.