3.4. Reguły w rachunku predykatów.

3.4.1. ŁYK TEORII.

W sposób podobny do tego, w jaki wykazywaliśmy, że dana formuła nie jest tautotologią lub kontrtautologią, można udowadniać zawodność reguł wnioskowania.

Jak pamiętamy z rachunku zdań, reguła jest to schemat wnioskowania – układ przynajmniej dwóch schematów, z których ostatni reprezentuje wniosek rozumowania, a poprzednie – przesłanki. Reguły będziemy zapisywać w ten sposób, że nad poziomą kreską będziemy umieszczać schematy przesłanek, natomiast pod kreską schemat wniosku.

Mówimy, że reguła jest dedukcyjna, a w związku z tym oparte na niej rozumowanie logicznie poprawne, jeśli nie jest możliwe, aby przesłanki stały się schematami zdań prawdziwych, a jednocześnie wniosek schematem zdania fałszywego.

Wykazanie, że dana reguła rachunku predykatów jest dedukcyjna, jest dość skomplikowane i, podobnie jak wykazywaniem, że formuła KRP jest tautologią bądź kontrtautologią, nie będziemy się tym obecnie zajmować. Ograniczymy się do, o wiele prostszego, udowadniania, że dana reguła nie jest dedukcyjna (czyli, mówiąc inaczej, jest zawodna).

Ponieważ to, czy formuły rachunku predykatów reprezentują zdania fałszywe czy prawdziwe, zależy od struktury, w której formuły te będziemy rozpatrywać, udowodnienie zawodności reguły polega na znalezieniu takiej struktury, w której wszystkie przesłanki staną się schematami zdań prawdziwych, a wniosek – schematem zdania fałszywego. W ten sposób wykazujemy, że możliwa jest sytuacja, aby przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy, a więc reguła jest zawodna – posługując się nią, możemy, wychodząc z prawdziwych przesłanek, dojść do fałszywego wniosku.

3.4.2. Praktyka: wykazywanie zawodności reguł.

W praktyce, udowadnianie zawodności reguł przebiega tak samo, jak wykazywanie że formuła nie jest tautologią lub kontrtatologią.

Przykład:

Wykażemy, że zawodna jest reguła:

~ x P(x)

————

x ~ P(x)

Jedyna przesłanka badanej reguły stwierdza, że nie każdy obiekt posiada własność P, natomiast jej wniosek głosi, iż żaden obiekt jej nie posiada. Zawodność powyższej reguły można wykazać budując strukturę U = U = zbiór ludzi, P(x)  x jest Chińczykiem. W strukturze tej przesłanka stwierdza prawdziwie, iż nie każdy człowiek jest Chińczykiem, zaś wniosek, fałszywie, że żaden człowiek Chińczykiem nie jest.

▲

Przykład:

Wykażemy, że zawodna jest reguła:

x P(x), x Q(x)

———————

x (P(x)  Q(x))

Pierwsza przesłanka reguły stwierdza, iż istnieje obiekt mający własność P, druga, że istnieje obiekt mający własność Q, natomiast wniosek, iż każdy obiekt ma przynajmniej jedną z tych własności. Zawodność reguły możemy wykazać budując strukturę:

U = U = zbiór studentów, P(x)  x ma 5 z logiki, Q(x)  x ma 4 z logiki

▲

Przykład:

Wykażemy, że zawodna jest reguła:

xy R(x,y)

——————

xy R(y,x)

Przesłanka powyższej reguły stwierdza, że każdy obiekt uniwersum pozostaje do czegoś w relacji R, natomiast wniosek, iż do każdego obiektu uniwersum coś pozostaje w R. Jako przykład struktury, w której przesłanka stanie się zdaniem prawdziwym, a wniosek fałszywym posłużyć może:

U₁ = U = zbiór ludzi, R(x,y)  x jest dzieckiem y

Prawdą jest bowiem, że każdy człowiek jest czyimś dzieckiem, fałszem natomiast, że każdy człowiek dziecko posiada.

▲