1.7.2. Praktyka: sprawdzanie poprawności wnioskowań.
Przykład:
Sprawdzimy poprawność wnioskowania: Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zenka. Wacka nie ma w barze. Zatem Wacek nie dostał wypłaty.
W
e
wnioskowaniu tym widzimy dwa zdania stanowiące przesłanki oraz
oczywiście zdanie będące wnioskiem. Wniosek poznajemy zwykle po
zwrotach typu „zatem”, „a więc” itp. Schematy zdań ułożone
w formie reguły, na której opiera się powyższe wnioskowanie,
wyglądają następująco:
p (q r), ~ q
–––––––––––––
~ p
Badając, czy reguła jest niezawodna, a więc, czy wniosek wynika z przesłanek, sprawdzamy, czy możliwa jest sytuacja aby wszystkie przesłanki były prawdziwe, a jednocześnie wniosek fałszywy:
1 1
p (q r), ~ q
–––––––––––––
~ p
0
Dalsze kroki, które musimy wykonać przedstawiają się następująco: obliczamy wartości zdań p oraz q na podstawie znajomości wartości ich negacji; następnie przepisujemy te wartości i wiedząc, iż prawdziwa implikacja z prawdziwym poprzednikiem musi mieć prawdziwy następnik, wpisujemy wartość 1 nad spójnikiem alternatywy; znając wartość alternatywy oraz jednego z jej członów – q, obliczamy wartość r – 1:
1 1 0 1 1 1 0
p (q r), ~ q
–––––––––––––
~ p
0 1
Ponieważ przy takich podstawieniach nie pojawia się nigdzie sprzeczność, wykazaliśmy że możliwa jest sytuacja, aby przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy. Powyższa reguła jest zatem zawodna, czyli jej wniosek nie wynika z przesłanek. Na podstawie tych faktów możemy dać ostateczną odpowiedź, iż badane wnioskowanie nie jest poprawne.
▲
Przykład:
Zbadamy teraz poprawność wnioskowania będącego modyfikacją rozumowania z poprzedniego przykładu. Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zenka. Wacka nie ma w barze. Zatem Wacek nie dostał wypłaty lub jest u Zenka.
Badając regułę, na której oparte jest wnioskowanie zaczynamy następująco:
1 1
p (q r), ~ q
–––––––––––––
~ p r
0
Następnie obliczamy wartości członów alternatywy we wniosku oraz wartość q. Wartości te przepisujemy do pierwszej przesłanki i stwierdzamy, że fałszywa musi być alternatywa (q r), ponieważ fałszywe są oba jej człony. Po bliższym przyjrzeniu się implikacji odkrywamy w niej sprzeczność:
1 1 0 0 0 1 0
p (q r), ~ q
–––––––––––––
~ p r
0 1 0 0
Pokazaliśmy, że tym razem nie jest możliwa sytuacja, aby przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy. Powyższa reguła jest zatem niezawodna, a badane wnioskowanie poprawne.
▲
UWAGA!
Badając dedukcyjność reguł, podobnie jak przy sprawdzaniu czy formuła jest tautologią lub kontrtautologią, sprzeczności mogą pojawić się w różnych miejscach. Na przykład w powyższym przykładzie ostateczny wynik mógł wyglądać następująco:
1 1 0 1 0 1 0
p (q r), ~ q
–––––––––––––
~ p r
0 1 0 0
Oczywiście jest to równie dobre rozwiązanie.
▲
Przykład:
Sprawdzimy poprawność następującego wnioskowania: Jeśli „Lolek” jest agentem, to agentem jest też „Bolek”, zaś nie jest nim „Tola”. Jeśli „Bolek” jest agentem, to jest nim też „Lolek” lub „Tola”. Jeśli jednak „Tola” nie jest agentem, to jest nim „Lolek” a nie jest „Bolek”. Tak więc to „Tola” jest agentem.
Reguła na której oparte jest powyższe wnioskowanie wygląda następująco:
p (q ~ r), q (p r), ~ r (p ~ q)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
r
Po założeniu prawdziwości przesłanek oraz fałszywości wniosku, a następnie przepisaniu wszędzie wartości r otrzymujemy:
1 0 1 0 0 1
p (q ~ r), q (p r), ~ r (p ~ q)
––––––––––––––––––––––––––––––––––
r
0
Teraz możemy obliczyć wartość negacji r. W trzeciej przesłance mając prawdziwą implikację z prawdziwym poprzednikiem stwierdzamy, że prawdziwy musi być jej następnik – koniunkcja p ~ q. Teraz łatwo obliczamy wartości p oraz q i przepisujemy je. Po obliczeniu wartości koniunkcji w pierwszej przesłance oraz alternatywy w drugiej otrzymujmy:
1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
p (q ~ r), q (p r), ~ r (p ~ q)
––––––––––––––––––––––––––––––––––
r
0
Sprzeczność w pierwszej przesłance pokazuje, iż nie jest możliwa sytuacja, aby przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy. Wnioskowanie jest więc poprawne.
▲