1.6. Wynikanie logiczne.

1 .6.1. Łyk teorii.

Posługując się schematami zdań oraz tabelkami zero-jedynkowymi można sprawdzać poprawność logiczną prostych wnioskowań. W tym celu musimy najpierw zapoznać się z pojęciem wynikania logicznego.

Mówimy, że z pewnego zdania A wynika (w szerokim znaczeniu tego słowa) zdanie B, gdy nie jest możliwa sytuacja, aby zdanie A było prawdziwe, a jednocześnie B fałszywe. Czyli, ujmując rzecz inaczej, w przypadku gdy ze zdania A wynika zdanie B, to gdy tylko A jest prawdziwe, również prawdziwe musi być B.

I tak na przykład, ze zdania Jan jest starszy od Piotra wynika zdanie Piotr jest młodszy od Jana, bo nie jest możliwe, aby pierwsze było prawdziwe, a drugie fałszywe (lub, jak kto woli, gdy prawdziwe jest pierwsze zdanie, to i prawdziwe musi być drugie).

W logice pojęciem wynikania posługujemy się w bardzo ścisłym sensie, mówiąc o tak zwanym wynikaniu logicznym. W przykładzie powyżej mieliśmy do czynienia z wynikaniem w szerokim sensie, ale nie z wynikaniem logicznym. Stosunek wynikania uzależniony był tam od znaczenia słów „starszy” i „młodszy; w przypadku wynikania logicznego to, że nie jest możliwa sytuacja, aby zdanie A było prawdziwe, a B fałszywe, uzależnione jest tylko i wyłącznie od obecnych w nich stałych logicznych (a więc, w przypadku rachunku zdań, od spójników logicznych).

To czy z jednego zdania wynika logicznie drugie możemy łatwo sprawdzić przy pomocy metody zero-jedynkowej, podobnie jak sprawdzamy, czy formuła jest tautologią lub kontrtautologią. Aby tego dokonać, musimy najpierw napisać schematy obu zdań. Schematy te piszemy na ogół w specjalnej formie – schemat pierwszego nad kreską, a pod kreską schemat drugiego:

schemat zdania A

––––––––––––––

schemat zdania B

Następnie sprawdzamy, czy jest możliwa sytuacja, aby zdanie A było prawdziwe, a B fałszywe. Wpisujemy symbol 1 przy głównym spójniku zdania A, a 0 przy głównym spójniku zdania B i wyciągamy z takich założeń wszelkie konsekwencje – podobnie jak to czyniliśmy przy badaniu tautologii i kontrtautologii. Gdy okaże się, że ostatecznie nigdzie nie wystąpi sprzeczność, będzie to oznaczać, że sytuacja gdzie zdanie A jest prawdziwe, a B fałszywe może zaistnieć, a więc, zgodnie z definicją wynikania, ze zdania A nie wynika logicznie zdanie B. Gdy natomiast wyciągając konsekwencje z przyjętego założenia dojdziemy do sprzeczności, będzie to wskazywać, że nie jest możliwe aby A było prawdziwe a B fałszywe, a zatem, że ze zdania A wynika logicznie zdanie B.

DO ZAPAMIĘTANIA:

W skrócie metoda badania czy z jednego zdania wynika zdanie drugie wygląda następująco:

• piszemy schematy zdań;

• zakładamy, że pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie fałszywe;

• wyciągając z założonej sytuacji konsekwencje, sprawdzamy, czy może ona wystąpić;

• jeżeli otrzymamy sprzeczność, świadczy to, że ze zdania A wynika logicznie zdanie B; jeśli sprzeczności nie ma, ze zdania A nie wynika B.

1.6.2. Praktyka: sprawdzanie, czy z jednego zdania wynika drugie.

Przykład:

Sprawdzimy, czy ze zdania Gospodarka rozwija się dobrze wtedy i tylko wtedy, gdy podatki nie są wysokie, wynika logicznie zdanie Jeżeli podatki są wysokie, to gospodarka nie rozwija się dobrze.

Schematy powyższych zdań wyglądają następująco:

p  ~ q

––––––––

q  ~ p

p – gospodarka rozwija się dobrze, q – podatki są wysokie.

Uwaga na błędy!

Należy bezwzględnie pamiętać o zastępowaniu tych samych zdań prostych występujących w różnych miejscach przez te same zmienne.

Sprawdzamy teraz, czy może zajść sytuacja, aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie fałszywe.

1

p  ~ q

––––––––

q  ~ p

0

Z fałszywości implikacji możemy określić wartości logiczne zmiennych p oraz q i przenieść je do pierwszego zdania:

1 1 1

p  ~ q

––––––––

q  ~ p

1 0 0 1

Gdy na podstawie prawdziwości q obliczymy wartość prawej strony równoważności otrzymamy ewidentną sprzeczność – prawdziwą równoważność z jednym członem prawdziwym, a drugim fałszywym.

1 1 0 1

p  ~ q

––––––––

q  ~ p

1 0 0 1

Widzimy zatem, że sytuacja aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie fałszywe nie jest możliwa. Możemy zatem powiedzieć, że ze zdania Gospodarka rozwija się dobrze wtedy i tylko wtedy, gdy podatki nie są wysokie wynika logicznie zdanie Jeżeli podatki są wysokie, to gospodarka nie rozwija się dobrze.

▲

Uwaga na błędy!

W opisany wyżej sposób sprawdzamy zawsze, czy z pierwszego zdania wynika zdanie drugie, a nie na odwrót. Zdarza się, iż niektórzy nie zwracają uwagi na tę istotną różnicę i na zasadzie „coś z czegoś wynika” beztrosko dają odpowiedź: zdanie pierwsze wynika z drugiego. Jest to bardzo duży błąd.

Przykład:

Sprawdzimy, czy ze zdania Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała, wynika logicznie zdanie Jeśli impreza się nie udała, to był na niej Zdzisiek lub Wacek.

Schematy powyższych zdań wyglądają następująco:

(p  q)  ~ r

––––––––––––

~ r  (p  q)

Sprawdzamy teraz, czy możliwa jest sytuacja, aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie fałszywe.

1

(p  q)  ~ r

––––––––––––

~ r  (p  q)

0

Z fałszywości implikacji na dole łatwo obliczamy wartości ~ r, oraz p  q, a następnie samych zmiennych p, q i r. Wartości tych zmiennych przenosimy do pierwszego zdania:

0 0 1 0

(p  q)  ~ r

––––––––––––

~ r  (p  q)

1 0 0 0 0 0

Po obliczeniu wartości koniunkcji p i q oraz negacji r, okazuje się, że w badanych schematach wszystko się zgadza – nie ma żadnej sprzeczności:

0 0 0 1 1 0

(p  q)  ~ r

––––––––––––

~ r  (p  q)

1 0 0 0 0 0

Brak sprzeczności świadczy, że jak najbardziej możliwa jest sytuacja, aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie fałszywe. Stwierdzamy zatem, że w tym wypadku zdanie drugie nie wynika logicznie ze zdania pierwszego.

▲