1 .4.5. Często zadawane pytania.

Czy przy pomocy metody skróconej można od razu, „w jednej linijce” stwierdzić status logiczny formuły – zbadać czy jest ona tautologią, kontrtautologią czy też żadną z nich?

To zależy jak na to spojrzeć. Badanie czy formuła jest tautologią wymaga innego założenia, niż badanie czy jest kontrtatulogią, więc w zasadzie należy zbadać przynajmniej dwie możliwości. Jednakże, gdy otrzymamy wynik „pozytywny” (to znaczy, że formuła jest tautologią lub jest kontrtautologią), to wiemy od razu, że nie jest ona niczym innym. Gdy natomiast otrzymamy wynik „negatywny”, to wiemy jedynie, że formuła czymś nie jest, dalej nie znając jej dokładnego statusu logicznego.

Czy formuła może „nie dać” się sprawdzić, czy jest tautologią lub kontrtautologią przy pomocy metody skróconej?

Sprawdzić przy pomocy metody skróconej da się zawsze. Jednakże czasami już na początku może pojawić się kilka możliwości do zbadania (na przykład gdyby ktoś chciał sprawdzić, czy tautologią jest formuła z koniunkcją jako głównym spójnikiem). W takich wypadach metoda skrócona może stać się nieefektywna i wcale nie mniej pracochłonna od metody „zwykłej”.

1.5. Prawda logiczna I zdania wewnętrznie sprzeczne.

1 .5.1. Łyk teorii.

Jeśli schemat jakiegoś zdania języka naturalnego jest tautologią, to zdanie takie nazywamy prawdą logiczną. Zdanie będące prawdą logiczną jest prawdziwe ze względu na znaczenie tylko i wyłącznie użytych w nim spójników logicznych.

Zdania, których schematy są kontrtautologiami nazywamy fałszami logicznymi lub zdaniami wewnętrznie sprzecznymi. Zdania takie są fałszywe na mocy samych spójników logicznych, niezależnie od treści zdań składowych.

1.5.2. Praktyka: sprawdzanie, czy zdanie jest prawdą logiczną lub fałszem logicznym.

Sprawdzenie, czy zdanie jest prawdą logiczną jest bardzo proste i wymaga połączenia dwóch umiejętności: zapisywania schematu zdania oraz sprawdzania, czy schemat jest tautologią. Jeżeli schemat badanego zdania okaże się tautologią, stwierdzamy, że zdanie to jest prawdą logiczną, jeśli schemat tautologią nie jest, zdanie nie jest również prawdą logiczną.

Przykład:

Zbadamy bardzo proste zdanie: Jutro będzie padać lub nie będzie padać.

Schemat tego zdania, to oczywiście p  ~ p. Formuła p  ~ p jest tautologią – gdybyśmy chcieli postawić 0 pod jej głównym spójnikiem, okazało by się, że zdanie p musi być jednocześnie prawdziwe i fałszywe, a więc otrzymalibyśmy sprzeczność.

p  ~ p

0 0 0 1

Ponieważ schemat zdania okazał się tautologią, to o zdaniu Jutro będzie padać lub nie będzie padać możemy powiedzieć, że jest ono prawdą logiczną. Łatwo zauważyć, że faktycznie zdanie to nie może okazać się fałszywe – cokolwiek stanie się jutro, niezależnie jaka będzie pogoda, zdanie stwierdza coś, co na pewno się wydarzy.

▲

Zauważmy, że takie bezwzględnie prawdziwe wyrażenia otrzymamy podstawiając dowolne zdanie za zmienną p w schemacie p  ~ p, na przykład Zdam egzamin lub nie zdam egzaminu, Nasz prezes jest mądrym człowiekiem lub nie jest on mądrym człowiekiem itp.

Przykład:

Sprawdzimy, czy prawdą logiczną jest zdanie: O ile jest tak, że jeśli Jan jest zakochany, to jest zazdrosny, to jeśli Jan nie jest zazdrosny, to nie jest zakochany.

Piszemy schemat zdania pamiętając o zastępowaniu tych samych zdań prostych tymi samymi zmiennymi:

(p  q)  (~ q  ~ p)

p – Jan jest zakochany, q – Jan jest zazdrosny.

Następnie sprawdzamy, czy powyższa formuła jest tautologią:

(p  q)  (~ q  ~ p)

1 1 0 0 1 0 0 0 1

Okazuje się, że formuła nie może stać się schematem zdania fałszywego, a zatem jest tautologią. W związku z tym badanie zdanie jest prawdą logiczną.

▲

Przykład:

Sprawdzimy, czy prawdą logiczną jest zdanie: Jeśli ten kamień jest diamentem, to przecina szkło lub jeśli nie jest diamentem, to nie przecina szkła.

(p  q)  (~ p  ~ q)

1 0 0 0 0 1 0 1 0

Ponieważ schemat okazał się tautologią, badane zdanie jest prawdą logiczną.

▲

Sprawdzenie, czy dane zdanie jest wewnętrznie sprzeczne jest równie proste. Jak łatwo się domyślić polega ono na napisaniu schematu zdania, a następnie zbadaniu, czy jest on kontrtautologią.

Przykład:

Zbadamy czy zdanie Jeżeli jestem za, to nie jestem przeciw, ale ja jestem za i jestem przeciw jest wewnętrznie sprzeczne.

(p  ~ q)  (p  q)

1 1 0 1 1 1 1 1

Ponieważ schemat badanego zdania jest kontrtautologią, samo zdanie jest wewnętrznie sprzeczne (jest fałszem logicznym).

▲