1.4.4. Kontrtautologie.

Jak dotąd stosowaliśmy metodę skróconą do badania, czy formuła jest tautologią. Gdy przy jej pomocy odkrywaliśmy, że formuła tautologią nie jest, nie wiedzieliśmy jeszcze, czy jest ona kontrtautologią, czy też może być schematem zarówno zdań prawdziwych, jak i fałszywych. Teraz zobaczymy, jak sprawdzić przy pomocy metody skróconej, czy formuła jest kontrtautologią.

Procedura sprawdzania, czy formuła jest kontrtautologią różni się od sprawdzania tautologiczności jedynie wstępnym założeniem. Jak wiemy, kontrtautologia, to schemat dający wyłącznie zdania fałszywe. Aby zbadać przy pomocy metody skróconej, czy formuła jest kontrtautologią, musimy więc sprawdzić, czy może ona przynajmniej raz wygenerować zdanie prawdziwe. W praktyce wygląda to tak, że stawiamy 1 przy głównym spójniku zdania i znanymi już sposobami wyciągamy z tego wszelkie konsekwencje. Jeśli okaże się na końcu, że otrzymaliśmy sprzeczność, będzie to świadczyło, że formuła nie może być schematem zdania prawdziwego, a zatem jest kontrtautologią. Brak sprzeczności pokaże, że formuła przynajmniej raz może wygenerować zdanie prawdziwe, a więc nie jest kontrtautologią.

Przykład:

Zbadamy, czy kontrtautologią jest formuła: ~ [(~ p  q)  (q  p)].

Ponieważ głównym spójnikiem badanego schematu jest negacja, musimy sprawdzić, czy istnieje możliwość, aby przy negacji tej pojawiła się wartość 1.

~ [(~ p  q)  (q  p)]

1

W kolejnych krokach wyciągamy wszelkie konsekwencje z przyjętego założenia. Jeżeli negacja ma być prawdziwa, to całe zdanie, do którego się ona odnosi (czyli alternatywa w kwadratowym nawiasie) musi być fałszywe. Jeśli fałszywa jest alternatywa, to fałszywe muszą być oba jej człony (zdania w nawiasach okrągłych). Otrzymujemy więc:

~ [(~ p  q)  (q  p)]

1 0 0 0

W tym momencie mamy dwa miejsca, w których istnieje tylko jedna możliwość kombinacji zer i jedynek; nie jest istotne, od którego z nich zaczniemy. Gdy obliczymy najpierw wartość członów alternatywy w pierwszym nawiasie otrzymamy:

~ [(~ p  q)  (q  p)]

1 0 1 0 0 0 0

Po przepisaniu wartości zmiennych p i q do drugiego nawiasu otrzymujemy w nim ewidentną sprzeczność: implikacja z fałszywym poprzednikiem i prawdziwym następnikiem nie może być fałszywa.

~ [(~ p  q)  (q  p)]

1 0 1 0 0 0 0 0 1

Widzimy zatem, że nie jest możliwa sytuacja, aby badana formuła okazała się schematem zdania prawdziwego; jest więc ona na pewno kontrtautologią.

Zauważmy na marginesie, że gdybyśmy najpierw obliczyli wartość członów implikacji w drugim nawiasie (gdzie też była tylko jedna możliwość), to otrzymalibyśmy sprzeczność przy alternatywie ~ p  q.

▲

Przykład:

Zbadamy czy kontrtatulogią jest formuła {(p  q)  ~ [(p  r)  q]}  (q  r).

Zaczynamy od postawienia symbolu 1 przy głównym spójniku, którym jest tu koniunkcja pomiędzy nawiasem klamrowym a okrągłym. Z prawdziwości tej koniunkcji wnosimy o prawdziwości obu jej członów, czyli koniunkcji w nawiasie klamrowym i implikacji w okrągłym:

{(p  q)  ~ [(p  r)  q]}  (q  r)

1 1 1

Ponieważ prawdziwa jest koniunkcja w nawiasie klamrowym, prawdziwe muszą być oba jej człony: implikacja p  q oraz negacja wyrażenia w nawiasie kwadratowym. Jeżeli prawdziwa jest negacja, to oczywiście fałszywe musi być zdanie, do którego się ona odnosi, czyli implikacja (p  r)  q. Z kolei, jeśli fałszywa jest implikacja, to prawdziwy musi być jej poprzednik, a fałszywy następnik:

{(p  q)  ~ [(p  r)  q]}  (q  r)

1 1 1 1 0 0 1 1

Obliczoną wartość zmiennej q przepisujemy we wszystkie miejsca, gdzie zmienna ta występuje:

{(p  q)  ~ [(p  r)  q]}  (q  r)

1 0 1 1 1 0 0 1 0 1

Jedyne miejsce, w którym możemy coś wpisać ze stuprocentową pewnością, to pierwszy nawias okrągły. Jeżeli implikacja jest prawdziwa i jednocześnie ma fałszywy następnik, to fałszywy musi być również jej poprzednik. Oznaczamy więc p jako zdanie prawdziwe i przepisujemy tę wartość tam, gdzie jeszcze zdanie to występuje:

{(p  q)  ~ [(p  r)  q]}  (q  r)

0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

Obecnie możemy obliczyć wartość r w alternatywie p  r. Jeżeli alternatywa jest prawdziwa, a jeden jej człon jest fałszywy, to prawdziwy musi być człon drugi. Wpisujemy więc 1 przy zmiennej r i przepisujemy tę wartość pod r w implikacji w ostatnim nawiasie:

{(p  q)  ~ [(p  r)  q]}  (q  r)

0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Ponieważ nigdzie nie występuje tu sprzeczność, pokazaliśmy, że badana formuła może być schematem zdania prawdziwego, a więc nie jest kontrtautologią.

▲