Dwie możliwości od samego początku.

Czasem już na początku mamy dwie możliwości wpisania kombinacji zer i jedynek, na przykład gdy głównym spójnikiem jest równoważność.

Przykład:

[p  (q  r)]  [(q  ~ r)  ~ p]

Sprawdzenie, czy powyższa formuła może być schematem zdania fałszywego wymaga rozpatrzenia dwóch możliwości:

1 0 0

[p  (q  r)]  [(q  ~ r)  ~ p]

0 0 1

W przypadku „górnym” zacząć należy od prawej strony. Z fałszywości implikacji wiemy, że prawdziwy musi być jej poprzednik, czyli koniunkcja q  ~ r, natomiast fałszywy następniki – ~ p. Z prawdziwości koniunkcji wyciągamy wniosek o prawdziwości jej członów. Wartość logiczna zdań r i p jest oczywiście odwrotna do wartości ich negacji:

1 0 1 1 1 0 0 0 1

[p  (q  r)]  [(q  ~ r)  ~ p]

0 0 1

Po przepisaniu wartości zmiennych do lewej strony równoważności otrzymujemy:

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p  (q  r)]  [(q  ~ r)  ~ p]

0 0 1

Pozostaje nam jeszcze obliczenie wartości implikacji q  r. Ponieważ jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, implikacja ta powinna być fałszywa:

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p  (q  r)]  [(q  ~ r)  ~ p]

0 0 1

Teraz musimy sprawdzić, czy to, co wpisaliśmy na końcu, nie stoi w sprzeczności z wartościami obliczonymi wcześniej. Fałszywa implikacja q  r jest jednocześnie następnikiem implikacji w nawiasie kwadratowym o poprzedniku p. Otrzymujemy tu sprzeczność, ponieważ cała implikacja w kwadratowym nawiasie wyszła nam prawdziwa, co jest niemożliwe przy prawdziwym poprzedniku i fałszywym następniku:

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p  (q  r)]  [(q  ~ r)  ~ p]

0 0 1

Uwaga na błędy!

Otrzymanie sprzeczności w jednym z rozpatrywanych przypadków nie stanowi jeszcze dowodu, iż badana formuła jest tautologią. Należy pamiętać, że sprawdzanie tautologiczności formuły przy pomocy metody skróconej polega na stwierdzeniu niemożliwości wygenerowania przez dany schemat zdania fałszywego. Ponieważ w badanym przykładzie już na samym początku stwierdziliśmy istnienie dwóch przypadków w których formuła mogłaby okazać się schematem zdania fałszywego, wyeliminowanie jednego z nich (co dotąd zrobiliśmy), niczego jeszcze nie przesądza.

Musimy teraz zbadać drugi, „dolny” przypadek. Tu oczywiście rozpoczynamy od lewej strony, a otrzymane wartości zmiennych przepisujemy do strony prawej.

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p  (q  r)]  [(q  ~ r)  ~ p]

1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

Po obliczeniu wartości negacji zdań r oraz p, a następnie koniunkcji q  ~ r, otrzymujemy sprzeczność z prawej strony równoważności:

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

[p  (q  r)]  [(q  ~ r)  ~ p]

1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1

Dopiero teraz, gdy okazało się, że niemożliwe jest wygenerowanie przez badaną formułę zdania fałszywego na żaden z dwóch teoretycznie możliwych sposobów, możemy stwierdzić, że schemat ten jest tautologią.

▲

Przykład:

Zbadamy teraz, czy tautologią jest następująca formuła:

[p  (~ r  q)]  [(p  ~ q)  (p  r)]

Tu również głównym spójnikiem jest równoważność, która może dać zdanie fałszywe w dwóch przypadkach:

0 0 1

[p  (~ r  q)]  [(p  ~ q)  (p  r)]

1 0 0

W „górnym” przypadku należy rozpocząć od lewej strony. Po obliczeniu wartości zmiennych i przepisaniu ich na stronę prawą otrzymamy:

1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0

[p  (~ r  q)]  [(p  ~ q)  (p  r)]

1 0 0

Teraz możemy obliczyć wartość negacji q, a następnie koniunkcji p  ~ q oraz implikacji p  r na podstawie wartości logicznej ich członów:

1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0

[p  (~ r  q)]  [(p  ~ q)  (p  r)]

1 0 0

Okazuje się, że przy takim podstawieniu zer i jedynek w badanej formule nie występuje żadna sprzeczność. Pokazaliśmy zatem, że formuła ta może być schematem zdania fałszywego, a więc na pewno nie jest tautologią. Badanie drugiej, „dolnej” możliwości nic tu zmieni, więc możemy go zaniechać.

▲

Czasem nie trzeba wiedzieć wszystkiego.

Bywa, że nie musimy znać wartości wszystkich zmiennych, aby stwierdzić, że formuła jest tautologią – sprzeczność może pojawić się już wcześniej.

Przykład:

Zbadamy, czy tautologią jest formuła: {[r  (q  s)]  [(p  s)  r]}  (~ q  ~ p)

Po standardowo rozpoczętym sprawdzaniu formuły otrzymujemy:

{[r  (q  s)]  [(p  s)  r]}  (~ q  ~ p)

1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1

Teraz możemy obliczyć wartość koniunkcji q  s na podstawie fałszywości jednego z jej członów oraz alternatywy p  s na podstawie prawdziwości p:

{[r  (q  s)]  [(p  s)  r]}  (~ q  ~ p)

1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1

W pierwszym kwadratowym nawiasie mamy obecnie prawdziwą implikację z fałszywym następnikiem – a zatem fałszywy musi być również jej poprzednik, czyli r. Po przepisaniu wartości r do drugiego nawiasu otrzymujemy w nim sprzeczność, świadczącą o tym, że badana formuła jest tautologią:

{[r  (q  s)]  [(p  s)  r]}  (~ q  ~ p)

0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Zauważmy, że sprzeczność pojawiła się, pomimo że nie poznaliśmy wartości zmiennej s; sprzeczność ta jest od s niezależna – wystąpiłaby zarówno gdyby zdanie oznaczane przez s było prawdziwe, jak i wtedy, gdyby było ono fałszywe.

▲

Może też zdarzyć się odwrotna sytuacja: sprzeczność nie pojawi się, niezależnie jakie zdanie podstawilibyśmy za jakąś zmienną.

Przykład:

Zbadamy, czy tautologią jest formuła: [(p  q)  r]  ~ p.

Po założeniu 0 pod głównym spójnikiem, niemal natychmiast otrzymujemy:

[(p  q)  r]  ~ p

1 1 1 1 0 0 1

W obecnej sytuacji nie mamy żadnych informacji pozwalających określić wartość zdania oznaczanego przez q. Zauważmy jednak, że jakiekolwiek q by nie było, na pewno w badanej formule nie powstanie sprzeczność. W związku z tym możemy pod q wpisać dowolną wartość – cokolwiek bowiem tam wpiszemy, wykażemy, że formuła może być schematem zdania fałszywego (nie ma w tym żadnej sprzeczności), a więc nie jest ona tautologią:

[(p  q)  r]  ~ p lub [(p  q)  r]  ~ p

1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

▲

Gdy nic już nie wiadomo...

Czasami może się zdarzyć i tak, że w jakimś momencie w badanej formule wszędzie są pod dwie lub nawet trzy możliwości wpisania kombinacji zer i jedynek.

Przykład:

Zbadamy, czy tautologią jest bardzo krótka formuła (p  q)  (r  s).

(p  q)  (r  s)

1 0 0

W takiej sytuacji wszędzie mamy po trzy możliwości. Nie powinno to jednak nikogo szczególnie przestraszyć, choć na początku może wyglądać groźnie. W istocie jest to sytuacja taka sama, jaka pojawiła się w ostatnim przykładzie, tyle że obecnie wystąpiła już na początku badania formuły i z niejako „większym natężeniem”.

Przypomnijmy sobie jednak istotę skróconej metody zero-jedynkowej. Polega ona na poszukiwaniu takich podstawień zer i jedynek, aby formuła dała zdanie fałszywe. Tutaj już na pierwszy rzut oka mamy takich możliwości sporo – wystarczy zatem wybrać dowolną z nich i wpisać, na przykład:

(p  q)  (r  s)

1 1 0 0 0 0 0

W ten sposób pokazujemy, że formuła nie jest tautologią, ponieważ stała się schematem zdania fałszywego.

Równie dobrym rozwiązaniem byłoby też na przykład takie:

(p  q)  (r  s)

0 1 1 0 0 0 1

▲