Порядок выполнения работы

1. Убедимся в существовании и единственности решения постав­ленной задачи Коши.

Согласно теореме Пикара: точка (2, 0) является внутренней точкой замкнутой прямоугольной области и на области D выполняются условия:

1) функция непрерывна как функция двух переменных;

2) частная производная существует и ограничена как функция двух переменных.

Следовательно, на отрезке , на котором уравнение имеет единственное решение удов­летворяющее заданному начальному условию.

2. Вычислим вручную у₁* и оценим его погрешность.

, где

При h=0,1

При h=0,05

Погрешность:

3. Составим программу вывода таблицы, где у — приближение к значению точного решения в точке x_i , най­денное однократным вычислением по методу Эйлера-Коши (с ша­гом h = 0,1), Е — оценка погрешности значения у*.

Текст программы:

var a,b,x0,y0,x,y,fm,fm1,h,y1,y2:real;

i:longint;

procedure vvod;

begin

a:=2;

b:=3;

x0:=2;

y0:=0;

end;

function fun(x:real;y:real):real;

begin

fun:=cos(x+y);

end;

function vu4(h:real):real;

begin

x:=x0;

y:=y0;

repeat

begin

fm:=fun(x,y);

fm1:=fun(x+h,y+h*fm);

y:=y+h/2*(fm+fm1);

x:=x+h;

end

until x>b;

vu4:=y;

end;

procedure vyvod;

begin

writeln('Tablyca zna4eniy');

x:=x0;

y:=y0;

i:=0;

h:=0.1;

repeat

begin

write('x='); write(x:0:5,' ');

write('y='); writeln(y:0:5);

fm:=fun(x,y);

fm1:=fun(x+h,y+h*fm);

y:=y+h/2*(fm+fm1);

x:=x+h;

i:=i+1;

end

until i>(b-a)/h;

writeln;

write('4yslo iteraciy=',i-1)

end;

begin

vvod;

i:=10;

repeat

begin

h:=(b-a)/(2*i);

i:=i*2;

y1:=vu4(h);

y2:=vu4(h/2);

writeln ('y*=', y2, ' E=', (y1-y2)/3);

end;

until (abs(y1-y2))/3<0.00001;

vyvod;

writeln;

readln

end.

Результат, выведенный на экран:

y*=-0.622330289016936 E=-0.0061927127952861

y*=-0.603894765843361 E=-0.00614517439119137

y*=-0.603892097470492 E=-8.89457623184005E-07

Tablyca zna4eniy

x=2.00000 y=0.00000

x=2.10000 y=-0.04423

x=2.20000 y=-0.09318

x=2.30000 y=-0.14632

x=2.40000 y=-0.20321

x=2.50000 y=-0.26346

x=2.60000 y=-0.32670

x=2.70000 y=-0.39264

x=2.80000 y=-0.46102

x=2.90000 y=-0.53158

x=3.00000 y=-0.60413

4yslo iteraciy=10

4. Получим искомое численное решение, выписывая табличные значения с верными значащими цифрами.

x	y
2	0
2,1	-0,4423
2,2	-0,9318
2,3	-0,14632
2,4	-0,20321
2,5	-0,26346
2,6	-0,32670
2,7	-0,39264
2,8	-0,46102
2,9	-0,53158
3	-0,60413

5. Построим соответствующую ломаную Эйлера.