5. Метод Эйлера- Коши, его геометрический смысл

Геометрический вывод. Рассмотрим алгоритм последо­вательного вычисления методом Эйлера- Коши.

Пусть известны данные x_i, у_i и x_i+1. Бо­лее точное приближение можно получить, если учи­тывать направления интегральных кривых, характерные для начала и конца отрезка [x_i, x_i+1]. Иллюстрация вычисления при i=0 приведена на рис. 10.

Точка лежит на некоторой интегральной кривой (при i=0это точное решение задачи Коши у = φ(x)), касательная к которой в точке A_i имеет угловой коэффи­циент Найдем ординату точки на этой касательной, соответствую­щей абсциссе x_i+1:

В ычислив , узнаем направление проходящей через интегральной кривой в этой точке. Теперь найдем «ус­редненное» направление кривых на рассматриваемом отрезке:

и возьмем в качестве число

Геометрический смысл этой формулы следующий. Если через исходную точку A_i провести прямую с угловым коэффициентом и взять на ней точку A_i+1 с абсциссой x_i+1 то эта формула определяет орди­нату этой точки.

Аналитический вывод. Для простоты ограничимся получением формул при i = 0.

В основе вычислений методом Эйлера лежит линейное относи­тельно h усечение формулы Тейлора. Можно ожидать более высо­кой точности от y_it если вместо линейного усечения брать квадра­тичное.

Имеет место равенство

из которого отбрасыванием слагаемого получим

Подставим вместо его приближенное значение

наличие которого следует из определения второй производной. Тогда

Здесь известно число . Чтобы выразить че­рез значение функции f, найдем «грубое» приближение к :

и обозначим через ψ решение уравне­ния , удовлетворяющее начальному условию: . Понят­но, что . Поскольку φ и ψ являются родственными решениями, можно взять

6. Оценка погрешности численного решения методом двойного пересчета

Формулы приблизительной оценки точности значений численного решения методом двойного пересчета (методом Рунге) основа­ны на учете только погрешностей усечения формулы Тейлора, т.е. при этом пренебрегают другими источниками погрешностей, вклю­чая и вычислительные.

Пусть строится таблица с отстоящими на шаг h аргументами Сначала одним из методов отыскивают значения с шагом h, а затем проводятся вычисления с шагом h/2. Понятно, что в последнем случае при каждом переходе от данного аргумента к следующему потребуется двукратное применение ме­тода. Соответствующие аргументам х_i новые табличные значения обозначим через у_i*(у₀*=у₀). Это улучшенные приближения к и поэтому таблицу с данными возьмем в каче­стве искомого численного решения с шагом h.

Расстояния между у_i* и точными числами вы­числяются по приближенным формулам для Метода Эйлера- Коши

Задание

Используя метод Эйлера-Коши, найдите численное решение дифференциального уравнения на отрезке с шагом h = 0,1, удов­летворяющее начальному условию (в таблицу простав­лять улучшенные значения у*, найденные двукратными вычисле­ниями с шагом h/2 = 0,05). Оцените погрешности чисел у* методом двойного пересчета и определите верные значащие цифры этих чи­сел. Начертите ломаную Эйлера.

Уравнения по вариантам

Вариант	Уравнение	x0	y0
10		2	0	[2;3]