2. Задача Коши. Теорема Пикара

Задача нахождения частного решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию у=у₀ и x=х₀, на­зывается задачей Коши.

Задачу Коши можно решить без выявления общего решения. Если же общее решение известно и начальное условие дано, то число С₀, определяющее искомое частное решение, нахо­дят из уравнения относительно .

Геометрический смысл задачи Коши заключается в нахождении интегральной кривой, проходящей через начальную точку (х₀, у₀).

Преж­де чем приступать к решению задачи Коши, предварительно надо выяснить, существует ли решение уравнения, удовлетворяющее дан­ному начальному условию, а если да, то сколько их может быть. Справедлива следующая теорема (теорема Пикара): пусть точка (х₀, у₀) является внутренней точкой замкнутой прямоугольной области

и на области D выполнены условия:

1) функция f непрерывна как функция двух переменных;

2) частная производная f'_y существует и ограничена как функция двух переменных (в частности, непрерывна в этой области).

Тогда найдется такой отрезок , на котором уравнение имеет единственное решение удов­летворяющее заданному начальному условию.

В качестве начальной точки в теореме Пикара мож­но взять любую внутреннюю точку области D. Следовательно, че­рез каждую такую точку в достаточно малой ее окрестности прохо­дит единственная интегральная кривая из семейства .

3. Геометрический смысл правой части дифференциального урав­нения, разрешенного относительно производной

Возьмем произвольную точку на интегральной кривой (рис. 9). Так как функция φ является решением, справедливо соотношение

С

Рис.9

другой стороны, по геометрическому смыслу производной, , где α — угол между касательной, проведенной к дан­ной кривой в точке А, и поло­жительным направлением оси Ох. Отсюда следует, что , т.е. значение f(x,у) функции f равно угловому коэф­фициенту касательной, прове­денной в точке А к интеграль­ной кривой .

Полученный результат спра­ведлив для любой внутренней точки М(х,у) из области D. Вы­числив получим угловой коэффициент касательной к некоторой проходящей через эту точку интегральной кривой, при этом сама кривая может быть не­известна. Можно сказать, что значения определяют направ­ления интегральных кривых в тех точках, где они вычислены.

Направление кривой в точке М(х,у) обычно указывается с по­мощью отрезка небольшой длины с центром в Μ и с углом наклона к положительному направлению оси Ох. Проведя достаточно большое число таких отрезков, получаем некоторое пред­ставление о конфигурации интегральных кривых уравнения.

4. Понятие численного решения. Ломаная Эйлера

…	…
Табл.2

Потребность в приближенном решении задачи Коши возника­ет прежде всего в том случае, когда дифференциальное уравнение не принадлежит ни одному из классов уравнений, для которых из­вестны точные методы интегрирования. Приближенные методы часто применяют и тогда, когда точные методы оказываются не­эффективными ввиду больших затрат времени и усилий для их реализации.

На практике наиболее распространенными являются численные методы приближенного интегрирования дифференциальных урав­нений, дающие решение задачи Коши в виде таблицы приближен­ных значений точного решения φ. Эту табли­цу [таблично заданную функцию и на­зывают численным решением задачи Коши. Для выполнения начального условия табли­ца должна содержать данные х₀, у₀.

…	…
Табл.3

Е

Рис.10

сли задан конечный промежуток, на ко­тором ищется решение, и точка х₀ лежит внут­ри этого промежутка, приближенное решение имеет вид табл. 2. Вначале в ней известны х₀ и у₀, затем отыскиваются остальные таблич­ные данные. Так как правила определения «верхних» и «нижних» (относительно х₀ и у₀) данных одинаковы, будем искать это решение в виде табл. 3.

Для построения табл. 3 выбирается шаг h и вычисляются табличные аргументы . Затем последовательно на­ходятся числа , близкие к значениям точно­го решения в точках :

Точность приближенных равенств (5.6) зависит от способа вы­числения и от шага таблицы h. Чем меньше шаг, тем выше должна быть точность таблицы. Заданное значение у₀ считается точным чис­лом. Погрешности появляются при вычислении у₁ , а далее обычно происходит их накопление.

Табл. 3 является приближением к решению φ. Если на плоскости хОу построить точки таблицы (х₀, у₀),...,(х_n, у_n) и соединить их отрезками, по­лучится так называемая ломаная Эй­лера (рис. 10). Она будет приближе­нием интегральной кривой .

Теорема. Если все частные производные функции f до k-го (k≥1) порядка непрерывны в прямоугольной области D, то всякое реше­ние уравнения , график которого проходит через внут­реннюю точку (х₀, у₀) этой области, имеет производную (k+1)-го порядка, непрерывную в некоторой окрестности x₀.