Задание

Вариант	Интеграл
10

1. Вычислите данный интеграл вручную по формуле трапеций при n = 3 и n = 6. Оцените погрешность приближения J₆^(T) методом двойного пересчета, а затем найдите абсолютную погрешность это­го же приближения по формуле строгой оценки погрешностей.

1)

x	0	0,667	1,333	2
y	0,841	0,995	0,723	0,141

1)

x	0	0,333	0,666	0,999	1,333	1,666	2
y	0,841	0,972	0,995	0,910	0,723	0,458	0,141

Погрешность вычислений

Абсолютная погрешность

Следовательно, у одна верная цифра после запятой.

2. Вычислим данный интеграл по формуле Симпсона с точнос­тью до , для чего сначала надо определим число п, при котором формула обеспечивает точность ε, затем составим програм­му реализации формулы и с ее помощью найдем Для того чтобы не учитывать вычислительные погрешности, шаг разбиения и зна­чения функций возьмем с двумя запасными цифрами, тогда пусть .

Составим програм­му реализации формулы и с ее помощью найдем . Текст программы:

var a,b,h,x :real;

n,i :integer;

integ :real;

function F(x:real):real;

begin

F:=sin(x+1)

end;

begin

write('a='); readln(a);

write('b='); readln(b);

write('n='); readln(n);

if (n mod 2)>0 then

begin

n:=n+1;

writeln('4islo n bylo vvedeno ne4etnoe, ono zameneno na',n);

end;

h:=(b-a)/n;

integ:=F(a)+F(b)+4*F(a+h);

for i:=1 to (n div 2)-1 do

begin

x:=a+2*h*i;

integ:=integ+2*F(x)+4*F(x+h);

end;

integ:=h*integ/3;

writeln('integral = ',integ:1:6);

readln;

end.

Результат, выведенный на экран (возьмем также n=8 для )

a=0

b=2

n=26

integral = 1.530295

a=0

b=2

n=8

integral = 1.530328

Ответ:

3. Вычислите интеграл по формуле Ньютона-Лейбница с мак­симальной точностью, которая возможна при используемых вычис­лительных средствах.

6. Сравните полученные разными способами результаты по их точности.

Так как интеграл выражается через элементарные функции, то наиболее точным значением будет то, что рассчитано по формуле Ньютона-Лейбница. Расчет по формуле трапеций требует большого количества шагов разбиения для обеспечения высокой точности; формула Симпсона же, напротив, позволяет добиться высокой точности, не прибегая к уменьшению отрезка шага разбиения.

9. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом эйлера-коши Необходимые сведения из теории

1. Общее и частное решения обыкновенного дифференциально­го уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида в предположении, что функция f непрерывна как функция двух пе­ременных в области своего определения D,.

Функция непрерывно дифферен­цируемая на некотором конечном или бесконечном промежутке из R и обращающая на нем уравнение в тождество

называется решением этого уравнения на этом промежутке.

Различают общее решение дифференциального уравнения, кото­рое записывается в виде функции

с произвольной числовой постоянной С, и частное решение получающееся из общего решения при конкретном (до­пустимом) значении числового параметра С= С₀.

Для выделения частного решения обычно ставится условие, ко­торому должно удовлетворять решение у(х₀) = у₀. Понятно, что здесь (х₀, y₀) D_f.

Соотношение у=у₀ и x=х₀ называют начальным условием, числа xq и у₀ — начальными данными, а точку (х₀, у₀) — начальной точкой.

График решения дифференциального уравнения называется ин­тегральной кривой этого уравнения. Общее решение определя­ет семейство интегральных кривых (каждому конкретному значе­нию С соответствует своя кривая), имеющих, как правило, одина­ковую или похожую конфигурацию.