7. Квадратичное приближение табличных функций по методу наименьших квадратов Необходимые сведения из теории

1. Задача аналитического приближения табличных функций

Одной из основных проблем, связанных с табличными функци­ями, является их аналитическое приближение на основе известной таблицы значений, а именно, поиск такой аналитически заданной и достаточно просто вычисляемой функции р, которая в каком-то смысле близка к табличной функции f на всем отрезке или на некоторой его части.

Потребность в формуле возникает в различных ситуациях. Отмстим некоторые из них.

Во-первых, ее используют при вычислении значений функции f. Когда является одним из табличных аргументов, найти легко: оно равно у_i при некотором i = 0, 1,..., n с той же точнос­тью, с какой определено y_i . Если же x ≠ x_i (i = 0, 1,..., n), то решить эту задачу без приведенной формулы бывает невозможно (таблица эмпири­ческая, и точная связь y = f(х) неизвестна) или трудно (таблица мате­матическая, по простых способов непосредственного вычисления f(x) не существует). Во-вторых, аналитическое приближение яв­ляется целью математической обработки эмпирических таблиц. В-третьих, па основе формул подобного вида выводятся числен­ные методы решения ряда задач.

Метод наименьших квадратов фактически не ограничивает количество табличных дан­ных и чаще всего применяется для установления приближенной ана­литической зависимости между параметрами эмпирических таблиц.

2. Задача приближения по методу наименьших квадратов

Пусть связь между аргументами x_i и значениями у_i табл. 1 при­ближенно описывается формулой с числовыми пара­метрами . Требуется определить такие значения этих пара­метров, при которых сумма квадратов уклонений

будет наименьшей.

Если — искомые значения параметров, то их называют наилучшими параметрами, соотношение — наилуч­шей эмпирической формулой данного класса, а функцию ρ — наилуч­шей функцией из данного класса функций.

Здесь не ставится задача оценки погрешностей приближенного равенства во всех точках между х₀ и х_n . При интерполировании для этого были получены соответствующие формулы, но там предполагалось, что функция f имеет достаточно хорошее аналитическое выражение. В случае эмпирических таблиц, с которыми имеем дело в данном параграфе, никакой информации об f, кроме ее значений в точках х_i может не оказаться.

По этой причине выбирают наилучшую функцию р и находят модули погрешностей ее значений в точках х_i рав­ные │υ_i│, а также глобальную характеристику близости ρ к табличной функции — среднеквадратичное уклонение R(f,p).

Если для таблицы можно указать несколько классов эмпиричес­ких функции, то сначала из каждого класса отыскивается наилуч­шая функция, а затем из них выбирается та, которая дает наимень­шее среднеквадратичное уклонение.

7.3. Алгоритм построения наилучшего многочлена по данному методу

Возьмем многочлен k-ой степени

и выведем правило нахождения его наилучших коэффициентов. На самом деле, значение k не влияет па способ решения задачи, но при­веденные ниже рассуждения полезны в чисто практическом плане.

Если взять k ≥ n, то наименьшее значение уклонений дают интерполяционные многочлены, ибо для них при всех i = 0, 1,..., n. При k = n такой многочлен единственный, а при k > n их бесконечное множе­ство. Будем считать k < п. Независимо от количества табличных данных на прак­тике обычно ограничиваются многочленами степени не выше трех.

Сумма квадратов уклонений для многочлена представля­ет собой неотрицательную функцию от переменных а₀,…,а_k ,обо­значим ее через F:

Требующиеся нам наилучшие коэффициенты многочлена долж­ны давать минимум функции F. Из курса математического анализа известно, что необходимым условием экстремума дифференцируемой функции многих переменных является равенство нулю ее частных производных по всем переменным. Вычислим их и приравняем нулю:

Проведя суммирование, собрав коэффициенты при а₀,…,а_k и пе­ренеся не содержащие их суммы в правую часть, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных а₀,…,а_k:

Обозначим

и перепишем систему в виде

Пусть решением системы является вектор ( ), который дает наименьшее значение для сумма квадратов уклонений, т.е. является точкой минимума функции F. Это означает, что из всех многочленов k-ой степени многочлен

будет самым хорошим приближением к рассматриваемой нами таб­личной функции (по методу наименьших квадратов).