6.6. Формула линейного интерполирования и способы оценки ее погрешности

Пусть имеется таблица значений функции f с постоянным шагом h > 0 и требуется по табличным данным найти f(x) при х, не совпада­ющим с табличными аргументами. Для этого обозначим через два соседних табличных аргумента, между которыми нахо­дится х, через у₀, у₁ — соответствующие табличные значения, и из первой интерполяционной формулы Ньютона при n = 1 получим формулу линейного интерполирования

Слагаемое называется поправкой к значению , соответствующей отклонению х от .

Оценочная функция:

Оценка погрешности:

6.7. Обратное линейное интерполирование

Дано какое-то значе­ние у функции f, не равное табличным значениям и необходимо найти соответствующий аргумент , обозначим его как Если f монотонна в области вычисления, то обратная для нее функция там существует, причем она табличная.

Формула обратного линейного интерполирования

Для вычислений с ее помощью при заданном у выбираются два соседних табличных значения функции f, между ко­торыми находится у, и предыдущее значение принимается за , а последующее — за .

Остаточный член данной формулы выглядит следующим образом:

где с — некоторое число между . Следовательно,

где

Общая оценка погрешности формулы для всех у, находящихся между , обеспечивается неравенством

Задание

Дана таблица значений функции с верными цифрами:

x		X		X		X		X
0	1	0,4	1,1024	0,8	1,5082	1,2	2,3881	1,6	3,9536
0,1	1,0053	0,5	1,1693	0,9	1,6763	1,3	2,7057	1,7	4,4823
0,2	1,0227	0,6	1,2575	1,0	1,8768	1,4	3,0696	1,8	5,0758
0,3	1,0543	0,7	1,3695	1,1	2,1130	1,5	3,4842	1,9	5,7396

Вариант	а	b	с	d
10	0,96	0,92	1,2775	1,0049

Все исходные данные a, b, c, d считаются точными числами.

1. Вычислим приближенное значение с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона второй степени, определим его абсолютную погрешность и верные значащие цифры.

Составим таблицу конечных разностей:

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
0	1	0,0053	0,0121	0,0021	0,0002
0,1	1,0053	0,0174	0,0142	0,0023	0
0,2	1,0227	0,0316	0,0165	0,0023	0,0002
0,3	1,0543	0,0481	0,0188	0,0025	0
0,4	1,1024	0,0669	0,0213	0,0025	0,0004
0,5	1,1693	0,0882	0,0238	0,0029	-0,0002
0,6	1,2575	0,112	0,0267	0,0027	0,0003
0,7	1,3695	0,1387	0,0294	0,003	0,0003
0,8	1,5082	0,1681	0,0324	0,0033	-0,0001
0,9	1,6763	0,2005	0,0357	0,0032	0,0004
1	1,8768	0,2362	0,0389	0,0036	0,0002
1,1	2,113	0,2751	0,0425	0,0038	0,0006
1,2	2,3881	0,3176	0,0463	0,0044	-0,0003
1,3	2,7057	0,3639	0,0507	0,0041	0,0004
1,4	3,0696	0,4146	0,0548	0,0045	0,001
1,5	3,4842	0,4694	0,0593	0,0055	0
1,6	3,9536	0,5287	0,0648	0,0055
1,7	4,4823	0,5935	0,0703
1,8	5,0758	0,6638
1,9	5,7396
Табл. 3

Поскольку вторые разности табли­цы практически постоянны, хорошее приближение должен дать многочлен второй степени. Используя данные девятой строки табл.3, на отрезке [0,9; 1,0] будем иметь интерполяцион­ную формулу

Оценим погрешность этой формулы в точке . Поскольку для всех , примем . Учитывая зна­чение t = 0,6 , находим

Таким образом, при погрешность интерполяции меньше погрешности таблицы , поэтому точность ре­зультата определится точностью табличных данных. Чтобы узнать степень влияния этих данных, сначала вычислим :

а затем найдем оценку υ точности приближения . Для этого применим правила учета погреш­ностей арифметических действий, имея в виду, что число здесь точное. Абсолютные погрешности таблич­ных данных определим по верным цифрам значений у_i :

у чисел у_i они равны 0,0005, у разностей Δy_i — 0,001, у Δ²y_i — 0,002. Тогда

Полученная оценка ν действительно является основ­ной в суммарной оценке погрешности приближения 1,7923 к :

Теоретически число 1,7923 имеет только две верные знача­щие цифры после запятой. Для сравнения приведем искомое значение функции с пятью верными значащими цифрами, рассчитанное на калькуляторе: . Расстоя­ние показывает, что при учете вычисли­тельной погрешности получена завышенная ее оценка (в основном за счет завышения оценок погрешностей значений у_i и конечных раз­ностей по сравнению с их реальными погрешностями). На самом деле верными являются три цифры после запятой.

Ответ: .

2. Линейным интерполированием найдите значения функции f для аргументов и определите их верные значащие цифры с по­мощью таблицы конечных разностей.

Поскольку для всех , примем . Сначала применим общие для всех неравен­ства оценки погрешностей:

Так как Δ²y=0,0357 (из табл. 3),

Обе оценки почти одинаковы и показывают, что не только числам а и b, но и всем другим приближениям к функции, для всех , формула обеспечивает по крайней мере две верные значащие цифры после десятичной запятой.

Из оценочной функции

1) для :

2) для

Следовательно, в обоих случаях формула даст нам две верные цифры. Найдем искомые приближения:

Для оценки точности вычислений определяем абсолютные по­грешности чисел у₀ = и Δу₀ = 0,042 по известным верным цифрам табличных значений

Точность значения Р₁(1,11) оценится числом ν = 0,0005 + 0,1 · 0,001 = 0,0006.

Добавляем 0,00006 к подсчитанной ранее оценке

Значит, у a и b будет две верные цифры после запятой.

3. Вычислим значения обратной для d функции φ для аргумен­тов с, d по формуле обратного линейного интерполирования и запи­шите ответы с двумя цифрами после десятичной запятой.

1) Для

2) Для :