6.3. Теорема о единственности задачи полиномиального интерпо­лирования

Наиболее часто интерполирующую функцию ищут в виде мно­гочлена (полинома). Тогда интерполирование называют полиноми­альным, а соответствующий многочлен — интерполяционным. Задача полиномиального интерполирования всегда имеет ре­шение.

Теорема. Пусть известна табл.1 значений функции f с n+1 аргументом. Тогда существует единственный многочлен

степени п, удовлетворяющий равенствам

.

Таким образом, для любой табличной функции найдется един­ственный интерполяционный многочлен, степень которого в об­щем случае па единицу меньше количества узлов интерполиро­вания.

6.4. Конечные разности таблиц

В случае таблиц с равноотстоящими узлами используются вели­чины, называемые конечными разностями. Конечные разности пер­вого порядка — это разности между соседними табличными значе­ниями:

Формула для конечных разностей k-го порядка

Для табл. 1 разностью наивысшего порядка будет .

Можно определять разности функций в произвольной точке а;при некотором шаге (приращение функции), и т.д.

Конечные разности удобно располагать в форме таблиц

	)
Табл.2

По таблице конечных разностей часто удается находить наилуч­шую степень интерполяционного многочлена. Если разности k-ого порядка на каком-то участке таблицы практически постоянны, то это значит, что здесь табличная функция близка к многочлену k-ой степени.

6.5. Первый и второй интерполяционные многочлены Ньютона. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

Первый интерполяционный многочлен Ньютона:

Приближенное ра­венство: называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

На практике чаще всего используется другая форма записи мно­гочлена . Положим или . Тогда . С учетом полученных соотношений многочлен примет вид

Выражение для остаточного члена

и оценочной функции

где .

С помощью первой интерполяционной формулы Ньютона обыч­но вычисляют значения функции f для x, близких к х₀, т.е. находя­щихся в начале таблицы. Это обстоятельство следует учитывать при выборе узлов для построения

Второй интерполяционный многочлен Ньютона

Приближенное ра­венство: называется второй интерполяционной формулой Ньютона.

Положим или :

Выражение для остаточного члена

и оценочной функции

где .