
- •Міністерство освіти і науки України Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут"
- •Розрахунково-графічна робота з курсу «Обчислювальна математика»
- •Содержание
- •1. Вычисления с учетом погрешностей Необходимые сведения из теории
- •1.1 Абсолютная и относительная погрешности приближенных
- •Чисел и правило их записи.
- •1.2. Верные значащие цифры приближенных чисел.
- •1.3. Нахождение абсолютной погрешности по верным цифрам
- •1.4. Правило округления чисел
- •1.5. Правило записи приближенных чисел
- •1.6. Оценка влияния погрешностей аргументов на значение функции
- •1.7. Оценка погрешностей арифметических действий
- •Задание
- •2. Метод половинного деления Необходимые сведения из теории
- •2.1. Этапы приближенного решения уравнений с одним неизвестным
- •2.2. Отделение корней. Графическое отделение корней
- •2.3. Условия применения метода половинного деления
- •2.4. Алгоритм метода половинного деления
- •2.5. Условие окончания процесса деления при заданной допустимой погрешности
- •Задание
- •3. Комбинированный метод хорд и касательных
- •3.5. Условие окончания процесса вычислений при заданной допустимой погрешности
- •Задание
- •4. Уточнение корней уравнений методом простой итерации Необходимые сведения из теории
- •4.1. Методы отделения корней уравнений
- •4.2. Алгоритм построения итерационной последовательности, порождаемой уравнением )
- •4.3. Достаточное условие сходимости итерационной последовательности
- •4.4. Оценка погрешности n-го приближения к корню
- •4.5. Условие окончания итерационного процесса при заданной допустимой погрешности
- •Задание
- •5. Метод простой итерации приближенного решения систем линейных алгебраических уравнений Необходимые сведения из теории
- •5.1. Способы определения расстояния в пространстве Rn
- •5.2. Абсолютная погрешность числового вектора и его координат
- •5.3. Сходимость последовательности векторов в Rn
- •5.4. Приведенная система уравнений. Cпособы преобразования систем к приведенному виду
- •5.5. Построение итерационной последовательности
- •6. Интерполирование математических таблиц Необходимые сведения из теории
- •6.1. Табличная функция
- •6.2. Задача интерполирования табличной функции
- •6.3. Теорема о единственности задачи полиномиального интерполирования
- •6.4. Конечные разности таблиц
- •6.5. Первый и второй интерполяционные многочлены Ньютона. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона
- •6.6. Формула линейного интерполирования и способы оценки ее погрешности
- •6.7. Обратное линейное интерполирование
- •Задание
- •Квадратичное приближение табличных функций по методу наименьших квадратов Необходимые сведения из теории
- •Задача аналитического приближения табличных функций
- •Задача приближения по методу наименьших квадратов
- •7.3. Алгоритм построения наилучшего многочлена по данному методу
- •7.4. Уклонения, среднеквадратичное уклонение
- •Задание
- •Задание по вариантам
- •Порядок выполнения работы
- •8. Приближенное вычисление определенных интегралов Необходимые сведения из теории
- •8.1. Численный метод приближенного вычисления определенных интегралов
- •8.2. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона
- •8.3. Строгая оценка погрешностей этих формул
- •8.4. Оценка погрешностей методом двойного пересчета
- •8.5. Определение шага разбиения отрезка интегрирования, при котором квадратурная формула обеспечивает заданную точность
- •8.6. Вопросы оценки точности приближенного интеграла с учетом вычислительных погрешностей
- •Задание
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом эйлера-коши Необходимые сведения из теории
- •Общее и частное решения обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые
- •Задача Коши. Теорема Пикара
- •Геометрический смысл правой части дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной
- •Понятие численного решения. Ломаная Эйлера
- •Метод Эйлера- Коши, его геометрический смысл
- •Оценка погрешности численного решения методом двойного пересчета
- •Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Использованная литература:
Міністерство освіти і науки України Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут"
Факультет електроніки
Кафедра акустики та акустоелектроніки
Розрахунково-графічна робота з курсу «Обчислювальна математика»
Перевірив:
К.т.н., ст.викладач Богданова Н.В. |
Виконала:
Студентка групи ДГ82 Михеєва Анастасія Миколаївна
|
КИЕВ – 2009
Содержание
1. Вычисления с учетом погрешностей……………………………………………3
2. Метод половинного деления…………………………………………………..10
3. Комбинированный метод хорд и касательных……………………………….16
4. Уточнение корней уравнений методом простой итерации…………………21
5. Метод простой итерации приближенного решения систем линейных алгебраических уравнений……………………………………………………….27
6. Интерполирование математических таблиц…………………………………35
7. Квадратичное приближение табличных функций по методу наименьших квадратов……………………………………………………………………………45
8. Приближенное вычисление определенных интегралов……………………..53
9. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера-Коши…………………………………………………………….………..59
Использованная литература………………………………………..…………….68
1. Вычисления с учетом погрешностей Необходимые сведения из теории
1.1 Абсолютная и относительная погрешности приближенных
Чисел и правило их записи.
Пусть А — точное значение некоторой числовой, векторной или функциональной величины, a — известное приближение к нему (т. е. приближенное значение для А). Обозначаем: А ≈ а или а≈ А. В зависимости от типа величины принято называть А точным числом (вектором, функцией), а его приближение а — приближенным числом (вектором, функцией). Например, в соотношениях π ≈ 3,14, π ≈ 3,142 число π является точным, а числа 3,14, 3,142 — приближенными (приближениями к π).
1. Разность А - α (или а - А) между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью значения a.
2. Любое неотрицательное число Δа , удовлетворяющее неравенству
называется абсолютной погрешностью приближенного значения a (относительно р).
Число Δα устанавливает «верхний предел» для значений расстояния; с его помощью можно найти границы, т.е. «пределы от ... и до ...», в которых находится неизвестное точное значение А.
Как число Δ„, так и само неравенство (*) называют также оценкой погрешности (точности) значения о или приближенного равенства А ≈ а. Чтобы отличать эту оценку от приближенных оценок вида ρ(А, а) ≈ А, иногда ее называют строгой оценкой.
Если а — приближенное число, то неравенство (*) примет вид
│А – а│≤ Δα
Абсолютная погрешность определяется неоднозначно. На практике стараются в качестве Δα выбрать возможно меньшее при данных обстоятельствах число, удовлетворяющее (*).
Если
точное значение А
известно,
можно принять
.
Когда
α
является точным значением, т.е. а
=
А, будет
. Тогда и
Δα
= 0.
Абсолютная погрешность даст ценную информацию о неизвестном точном значении А: оно находится от известного приближения а на расстоянии, не большем чем Δа. В случае числовых величин имеем
│А – а│≤ Δα <=> а – Δа ≤ А ≤ а + Δа.
Следовательно, найдя приближенное значение а и его абсолютную погрешность Δа, узнаем, что точное значение А располагается на отрезке [а - Δа; а + Δα].
3. Если известна абсолютная погрешность Δα приближенного значения а, то а называют приближением к Ас точностью до Δа.
Когда говорят, что надо получить результат с заданной точностью ε > 0, это означает, что абсолютная погрешность его должна быть не больше ε.
4. Все цифры десятичной записи числа, начиная с первой ненулевой слева, называются значащими цифрами этого числа. Нули в конце числа всегда считаются значащими, иначе их не пишут. Так, число 0,05020 содержит четыре значащие цифры: 5,0,2 и 0.
Абсолютную погрешность не следует записывать с большим количеством значащих цифр. Основной информацией, содержащейся в ней, являются значение первой ненулевой цифры и десятичный разряд, в котором эта цифра расположена.
Правило. В записи абсолютной погрешности обычно оставляют только одну или две значащие цифры. Для сохранения условия (1) округление при этом всегда производится с избытком.
Как
и всякое действительное число, абсолютную
погрешность можно записывать в так
называемой плавающей
форме (с плавающей десятичной
запятой)
.
Здесь т
называется
мантиссой
числа,
а р
— его порядком.
Для оценки качества измерений или вычислений вводится понятие относительной погрешности.
5. Относительной погрешностью (часто называют предельной относительной погрешностью) приближенного числа а (а≠0) назывют неотрицательное число
Формула (2) связывает абсолютную и относительную погрешности чисел. Из нее, в частности, следует важное соотношение:
Δа = |а|δа.
Из-за
неоднозначности абсолютной погрешности
относительная погрешность приближенного
числа также не единственна. Как и
абсолютную погрешность, относительную
погрешность записывают с одной-двумя
значащими цифрами и округляют при
необходимости с избытком. Она
является безразмерной величиной и
потому часто выражается в процентах:
При фиксированном Δα относительная погрешность тем меньше, чем больше абсолютная величина приближенного числа.
Правило записи приближенных чисел. В промежуточных результатах вычислений обычно сохраняются одна-две сомнительные цифры, а окончательные результаты округляют с сохранением не более одной сомнительной цифры.