Раздел II

геодезические измерения ’

Глава 3 общие сведения

§ Й. Основные понятия теории погрешностей измерений

Случайное событие и вероятность

Случайным называют событие, которое в результате проведения опыта может произойти, а может и не произой­ти. Например, появление грани с цифрой три (событие Л) при бросании игральной кости. Точно определить до опыта произойдет или нет событие А невозможно.

Случайное событие всегда связано с вероятностью. Под вероятностью р понимают меру достоверности по­явления случайного события. В схеме случаев веройгт- ность определяют как отношение числа благоприятных случаев т к общему числу случаев п

р — т/п,

В нашем примере число благоприятствующих случаев m = I (одна грань с цифрой три), общее число случаев п = 6 (грани с цифрами от одного до шести), т. е. р = 1/6. Рассмотрим некоторые свойства вероятностей.

Событие называют достоверным, если оно в результат опыта обязательно произойдет. Например, появление одной из граней (1, 2, 3, 4, 5 или 6) при бросании играль­ной кости. Вероятность достоверного события р = 6/6 = 1.

Событие называют невозможным, если в результате опыта оно не может произойти. Например, появление грани с цифрой восемь (такой грани нет) при бросаики игральной кости. Тогда вероятность невозможного собы­тия р =* 0/6 = 0.

Случайная величина

• 

  х, х_л х₃ М(Х) Хщ x_s

  Рис.. 17. График распределе­ния' случайной величины

  Величину называют случай­ной, если в результате опыта она может принять то или иное значение, заранее которое точно предсказать невозможно. На- ft пример, число появления герба при многократном бросании мо- ^гр₅ неты. Случайную величину при­нято обозначать через X, кон­кретные значения, которые она может принимать, — через x_h а вероятность появления этих значений — через p_t.

Зависимость между X и р называют законом распре­деления вероятностей. Закон распределения случайной, величины может быть задан в виде аналитической, зависи­мости, таблицы или графика. Образец такого графика приведен на рис. 17.

Закон распределения полностью, характеризует слу­чайную величину, но он не всегда бывает известен.. По­этому на практике чаще пользуются его приближенным описанием с помощью числовых характеристик: матема­тического ожидания и стандартного отклонения.

(8)

М(Х)

S Pi*i- 1

. .....Числовое значение математического ожидания при­нято обозначать через т_х.

Степень рассеивания случайной величины вокруг махе^ матического ожидания характеризуют стандартным отклонением или стандартом. Стандарт вычисляют по формуле

. Математическое ожидание М (X) характеризует поло­жение центра рассеивания — абсциссу центра тяжести (см*, рис. 16) случайной величины и вычисляется по фор­муле .,

§ 10. Измерения и их погрешности

В повседневной деятельности человека часто возникает необходимость в количественной оценке различных объек­тов. Простейшим случаем такой оценки является счет, при котором определяют число единиц в совокупности.

Однако не всегда есть возможность оценить количе­ственную сторону простым подсчетом единиц. Например, в длине отрезка таких естественных единиц нет. В этом случае для количественной оценки объекта выбирают специальную единицу меры и путем сравнения опреде­ляют, какое число таких единиц уложится в определяемой величине. Процесс такого сравнения называют измере­нием. Результат измерения — число, которое характери­зует определяемую величину с количественной стороны. Результаты измерений позволяют сравнивать несколько величин, при этом можно характеризовать не только какие из них больше, но и на сколько больше или во сколько раз больше, т. е. получить полную количествен­ную характеристику объекта.

При измерении расстояний в качестве единицы меры используют метр и его производные — километр, деци­метр, сантиметр и миллиметр. Для измерений углов используют градус, гон (град) и радиан.

Непосредственное сравнение единицы меры с опре­деляемым объектом называют прямыми измерениями. Иногда прямые измерения крайне затруднены или не­возможны. Например, при определении площади поме­щения прямоугольной формы нецелесообразно брать еди­ницу меры в виде квадрата со стороной в один метр и укладывать эту единицу на определяемой площади. Есте­ственно, что мы измерим длину и ширину помещения, а площадь его вычислим как произведение этих величин. Случаи, когда измеряют одни величины, а определяемое значение вычисляют как функцию результатов измерений, называют косвенными измерениями.

На процесс измерения воздействует ряд факторов, влияние которых приводит к появлению погрешностей. Под погрешностью измерения А понимают разность между результатом измерения / и истинным значением X опре­деляемой величины, т. е. _f

Ь = 1-Х. (10),

Результаты измерений всегда сопровождаются по­грешностями. В этом нетрудно убедиться, если измерить 46

одну величину несколько раз: результаты хоть на немного, но будут различаться между собой. Во многих случаях объект измерения является абстрактным матема­тическим понятием, а измерению подвергаются реальные объекты. Например, измеряют диаметр тела, имеющего форму шара. Как бы тщательно ни обрабатывалась по­верхность этого тела, она все равно будет иметь отклоне­ния от идеальной сферы. При измерении диаметров тела в различных его частях будут получены расхождения в результатах, что свидетельствует о наличии в них погрешностей.