§ 37. Точность определения превышений на станции герадетрического нивелирования.

^: На каждой станции геометрического нивелирования превышения определяют по черной и красной сторонам реёк, и за окончательное значение h принимают среднее арифметическое. ^:

Таким образом превышение будет равно:

(71)

h = 0,5 (h₄ -|- h_K) = 0,5 {(a₄ — b₄) + (a„ — b_K)),

где h₄,' h_K — превышения, полученные соответственно по черной и красной сторонам реек; а_ч, Ь_ч — отсчеты по черным сторонам задней и передней рейки; а_ю Ь_к ■— то же по красным сторонам реек.

Обозначим средние квадратические погрешности от­счетов по черной и красной шкале задней и передней рейки соответственно m_Uii, т„_к, ть > пц, . Если принять, что т_ах1 — Ша_п = т_Ьч = /и,,_и = т_ОТС, с учетом (71) по-

лучим

Рассмотрнм основные источники систематических и случайных погрешностей, влияющие на величину т_ОТС.

С и с те м а т и ч е с к и е п о г р еш и ост и

П о г р еш и ость за крив и з и у Земли и р е. ф р а к ц и ю. При выведении формул (62)—(64) и изложении теории геометрического нивелирования счи­талось, что у ревенная поверхность горизонтальна. В дей­ствительности это не так. На рис. 48 дана реальная схема геометрического нивелирования, где показана уровеииая поверхность Q, от которой отсчитывают абсолютные вы­соты Н_А и На. Если провести уровениую поверхность Р через точку А, видно, что превышение между точками А и В равняется

Н' ~ <г, — Ь₁.

Расстояния от йивелира до реек — d_a и d_b.

Если полагать, что луч, задаваемый нивелиром, го­ризонтален (перпендикулярен к радиусу Земли R в точке стояния прибора), то для того, чтобы получить зиаче-. иия а_г и Ь_х, необходимо ввести поправки за кривизну Земли, равные

К = fli — «о5 h = h — b₀. (72)

Рис. 48. Схема влияния кривизны Земли и рефракции на результаты геометрического нивелирования

Известно, что влияние кривизны Земли на высоты точек определяется по формуле k — d²l2R. Тогда для задней и передней реек получим

А.--ЯИ ‘.“4- ⁽⁷³⁾

Однако визирный луч проходит через слои атмосферы с различной плотностью и искривляется. Это явление но­сит название вертикальной рефракции. Таким образом луч отклонился от горизонтального направления на величину

КУРС 1

ГЕОДЕЗИМ 1

I tf| | Ааред* 52

Е п 53

6,2. 57

£4 _/ЛЧ2Ё^ _/1NaiW' 61

-М!)²^+(|)²^+(!К <¹⁷> 62

л. 67

D +дли 124

Я»-. = и» -I- 'is ft,; H„ = + s A,. 193

НТ = Ни, -I- Ё А,. 196

т, , т, 261

=4-£ к,. 282

v = i v„ 326

Л,СЛ; = >1, + ^ L, 382

2' '» 2Й»’

где R_a, R_b — радиусы кривых N_XC и CV₂.

Заметим, чго превышение при нивелировании из се­редины находят по формуле (62), как разность отсчетов. Найдем погрешность этого превышения за счет влияния кривизны Земли и рефракции

Ah — h —• h^f = а — b — а_х ~j- b_L.

138

Подставляя в это выражение значения а и b из (72)—(74), получим

d²_a d²_a dl dl

1. ~ 2R 27^7 W ^

Проанализируем полученную формулу: если d_n = d_b, Ra “ Ru, ^то ^ = 0. Таким образом, если нивелир уста­новлен точно посередине нивелируемой линии и радиусы рефракционных кривых равны, кривизна Земли и рефрак­ция не будут влиять на величину измеряемого превы­шения.

Практически R_a не бывает равным R_b, и поэтому влия­ние рефракции сказывается на результатах нивелирова­ния из середины. Если d_a Ф d_h, измеренное превышение будет отличаться от истинного на величину А/г.

Радиус рефракционной кривой зависит от темпера­туры, влажности, давления атмосферы и других факторов. Отношение

ь _ JL.

R_a

называют коэффициентом рефракции или земного пре­ломления, Среднее значение k часто принимают равным

1. 16. Величину / — к — г называют поправкой за совмест­ное влияние кривизны Земли и рефракции.

Воспользовавшись выражениями (73) и (75), найдем величину этой поправки

d'i di „у?

f = _, _но R_a = — ,

поэтому

dl kd'i d~. d’‘ f _ _ __ = __(1 _ 0,16) = 0,42

При нивелировании вперед в результаты определения превышений полностью войдет величина /'.

Если расстояние от нивелира до рейки d = 100 м, при R ^ 6-10“ м получим f = 0,42 (10⁴/6-10°) = 7-10"⁴ = = 0,7 мм. Такая погрешность для многих инженерно- геодезических работ ие является существенной, что поз­воляет применять нивелирование вперед при съемках, изучении рельефа земной поверхности, составлении про­филей и ряде других работ без учета влияния кривизны Земли и рефракции.

Для получения более точных результатов необходимо в превышения вводить поправки по формуле (76).

При проложении нивелирных ходов для того, чтобы избежать накопления погрешностей, применяют, как правило, только метод геометрического нивелирования из середины, ограничивая величину разности плеч (d_a —d_b) в зависимости от необходимой точности определения пре­вышений.

Погрешность за негоризонталь­но с т ь визирного луча и неравенство плеч \_ч/ (нарушение главного условия) вызывает си­стематическую погрешность при разности плеч на стан­ции. Если разность плеч обозначить через Ad = d_a — d_b, а угол отклонения визирной оси от горизонта через i, то погрешность определения превышения можно опре­делить по формуле (67).

Для расчета точности возьмем наибольшие допускае­мые значения i — 10" и Ad — 1.0 м — 10⁴ мм. Тогда

^^гу “ 20^265’ ~ 0»5 ^мм-

Подобный расчет выполняют при назначении допуска величины Ad. Обычно на производстве назначают вели­чину Ad такой, чтобы она не оказала существенного влия­ния на погрешность /п_отс.

Случайные погреши ост и

Средняя квадратическая п о г р е ш- н ость т₀ отсчета по шкале рей к и. В процессе нивелирования отсчет по рейке с сантиметро­выми шашками производят до миллиметров. Таким обра­зом на глаз оценивают десятые доли. Погрешность от­счета зависит от величины t деления рейки, расстояния d от нивелира до рейки и увеличения v трубы. По резуль­татам экспериментальных наблюдений получена формула

щ = 0,03* + 0,2flf/u_f (77)

где d выражено в метрах, а / — в миллиметрах.

Принимая для распространенного па практике слу­чая: d = 150 м, t = 10 мм и v — 23*', согласно табл. 4 лля нивелира Н-10, получим

що = 0,03-10 + 0,2 ~ = 1,6 мм.

Средняя квадратическая погрешность т₀ совмещения изображения концов пузырька цилиндрического уровня определяется по формуле

т_с = m_xd/p, (78)

где т_х — средняя квадратическая погрешность установки пузырька цилиндрического уровня в нуль-пункт в угло­вой мере. Значение т_х зависит от цеиы деления уровня т. В том случае, когда пузырек приводят на середину, на­блюдая за его положением невооруженным глазом, при­нимают т_х = 0,1т. В современных нивелирах (см. § 36) используют контактные уровни, и точность установки по­вышается до гп_х — 0,04т.

При d = 150 м и т = 45" для нивелира Н-10 получим

А АЛ Л к. 1 Q" 1,8". 160- 10^я , , т_х = 0,04-45 = 1,8 ; т_с = —206 265^,f “ ^{1,4 мм}’

Среднюю квадратическую погрешность т_а делений рейки при расчетах можно принять 0,5 мм для реек РН-3 и 1 мм для реек PH-10.

Согласно (19) средняя квадратическая погрешность т_ото будет раина

'«ото = |Л«0 + '«с + "4 *

Подставив полученные значения погрешностей, по­лучим

W<>Tо V 1 »6^а + 1 >4“ + 1,0^а = 2,3 ММ,

но, согласно (71), m_h =* /и_отс = 2,3. Тогда предельная погрешность определения превышения на станции ниве­лиром И-10 при расстояниях до реек 150 м составит

А,_ф(,д — 3m_h = 3.2,3 — 6,9 = 7 мм.

Следует иметь в виду, что данный расчет является приближенным, в нем ие учтен целый ряд источников случайных и систематических погрешностей, таких как наклон реек, оседание башмаков и штатива, изменение внешних условий и т. п., поэтому в нормативных допу­сках А„_|И,_Д принимают равной 10 мм.