2.4. Описание выбранного метода.

Общий принцип определит оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов аналогичен принципу решений задачи линейного программирования симплексном методом, а именно: сначала находят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшает до получения оптимального плана.

Пусть одним из методов получен опорный план транспортной задачи его следует оптимизировать.

Теорема о потенциалов, если для некоторого опорного плана Х^*(x_ij*) (i=1.m. j=1.n) существуют такие числа α₁, α₂, α_m, β_1, β₂ β_m что выполняется следующие условия

β_j – α_i = c_ij при x_ij >0

β_j – α_i ≤ c_ij , то Х^* = (х^*_ij) оптимальный план

Числа называются потенциалами соответственно строк и столбцов

Теорема позволяет построить алгоритм нахождения решений транспортной задачи. Для каждой строки и столбца определяют потенциалы. Эти числа находят из системы уравнения.

β_j – α_i = c_ij

Так как число неизвестны числа уравнений на единицу. Можно положить одно из неизвестных равный нулю, и найти последовательное значение поставленных неизвестных. После того, как все потенциалы найдены, для каждой их свободной клетки определяют числа

a_ij = β_j – α_i - c_ij

Если среди чисел с коэффициентами ij нет положительных то найденный опорный план является оптимальным. Если же для некоторой свободной клетки то исходный план не является оптимальным и, необходимо перейти к новому плану.

Для этого рассматривают все свободные клетки для которых α_ij>0 и среди чисел выбирают максимальное. Клетку которой это число соответствует следует заполнить. Заполняя выбранную клетку необходимо изменить объемы поставок записанных в ряде других занятых клеток и связанных заполнены так называемые циклом. Циклом пересчета таблицы условий транспортной задачи называется ломанной линия вершины которой расположен в занятых клетках таблицы, а звеньях вдоль строк столбцов, при чем в каждой вершине цикл встречаются ровно два звена. Одно из которых находится в строке, а другое в столбце.

При правильном построении опорного плана, для любой свободной клетки можно построить лишь одни цикл. После его построения следует перейти к новому опорному Планк, для этого необходимо переместить грузы в пределах клетки связанных с одной свободной клеткой. Это перемещение производится по следующим правилам:

1. В каждой из клеток связанных с циклом с данной свободной клеткой при приписывает определенный знак, причем свободной клетки знак плюс, а всем остальным поочередно знак минус, плюс.

2. в данной свободной клетке в переносе наименьший из чисел х_ij стоящих в минусовых клетках. Одновременно это число прибавляется к соответствующим числам стоящих в плюсовых клетках и вычитать из чисел стоящих в минусовых клетках.

Клетка которая была ранее свободной становится занятым, так определяет новый опорный план транспортной задачи.

Описанный выше в переход от одного плана к другому называют сдвигом по циклу пересчета.

Полученная опорный план транспортной задачи проверяют на оптимальность.