2.3 Обоснование выбора метода.

Задачу можно решить методом распределительным. Рассмотрим какой-либо допустимый план в транспортной таблице. Выберем в нем перевозку, тариф который минимальный. Если эту перевозку переместить в клетку с меньшей стоимостью, то суммарная цена плана уменьшится. Однако перенос перевозки в другую клетку приведет к нарушению ограничений : Σ_j х_ij = a_i и Σ_i х_ij = b _j, поэтому в тех строках и столбцах транспортной таблицы, в которых нарушается ограничения, необходимо скорректировать перевозки. Это, в свою очередь, может привести к увеличению суммарной стоимости перевозок.

При решении оптимизационных задач симплекс-метод для улучшения плана выбранная свободная переменная переводится в базисную, а соответствующая базисная переменная – в свободную. В транспортной задаче роль свободных переменных играют свободные и базисные клетки, по аналогии с симплекс методом, для улучшения плана перевозок следует одну свободную клетку сделать базисной, а одну базисную – свободной. При этом общее число базисных клеток не изменяется.

Для того чтобы переместить перевозку из базисной клетки в свободную и не нарушить при этом установленные ограничения, используется понятие цикла транспортной таблицы.

Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломанной, каждый угол поворота которой кратен прямому углу.

В таблице 12.6 изображены два цикла. Первый состоит из четырех клеток: А₁В₁, А₁В₂ и А₂В₁, второй – из восьми: А₁В₃, А₁В₄, А₂В₄, А₂В₆, А₁В₆, А₁В₅, А₄В₅ и А₄В₃.

Важно, что любой цикл имеет четное число вершин и, следовательно, четное число ребер, или, другими словами, в строке в столбце транспортной таблицы может находится только четное число клеток, каждая из которых содержит вершину цикла. Поэтому в клетках, являющихся вершинами, можно так изменить значение перевозки, что сумма перевозок по строкам и столбцам не изменится, т.е. ограничения на вывоз и ввоз если они выполнены, по – прежнему будут удовлетворятся.

В самом деле, если последовательно пронумеровать вершины цикла начинается с 1 и в клетках, содержащих нечетные вершины, увеличить значение перевозки на величину ∆, а в клетках, содержащих четные вершины, уменьшить значение перевозки на величину ∆ то сумма по строкам и столбцам не изменяется. Стоимость таким образом измененного плана может стать другой. Вершины цикла, в которых увеличивается значение перевозки, отмечаются знаком плюс «+», а в которых уменьшается – знаком «-». Процесс изменения перевозок на величину ∆ в цикле называется перемещением ∆ единиц груза по циклу. Максимальное значение ∆, на которое можно уменьшить значение в клетках, помеченные знаком « - », определяется условием неотрицательности перевозок.

ПО\ПН	В1	В2	В3	В4	В5	В6	Запасы аi
А1	с11 +	с12 -	с13 +	с14 -	С15 -	с16 +	a1
А2	с21 -	с22 +	с23	с24 +	с25	с26 -	a2
А3	с31	с32	с33	с34	С35	с36	a3
А4	с41	с42	с43 -	с44	с45 +	с46	a4
Заявки b1	b1	b2	b3	b4	b5	b6	Σjbj=Σiai

Определим изменение стоимости плана перевозок, если какие-то его перевозки x_ij ,были скорректированы на величину ∆ в рамках некоторого цикла. Если план перевозок трансформируется в рамках первого цикла из табл. 12.6. то его стоимость изменится на величину

Если в раках второго цикла из этой же таблицы, то – на величину

Цикл в транспортной таблице характеризуется ценой q. Ценой цикла является изменение стоимости перевозок при перемещении единицы груза по циклу. Фактически цена цикла q равна изменению стоимости плана перевозок при корректировке входящих в него перевозок на единицу (∆ = 1), т.е. разности между суммой стоимостей перевозок, соответствующих положительным вершинам, и суммой стоимостей перевозок, соответствующих отрицательным вершинам. Для циклов, приведенных в таблице, имеем

и

При переносе по циклу ∆ единиц груза стоимость цикла и соответственно плана перевозок изменится на величину ∆q.

Для улучшения плана перевозок имеет смысл найти отрицательный цикл и переместить по нему максимально возможное количество груза. Так как перевозки не могут быть отрицательными, то можно рассматривать только те циклы, отрицательные вершины которых лежат в базисных клетках таблицы.

Улучшение плана перевозок состоит в том, чтобы последовательно находить все циклы с отрицательной ценой и перемещать по ним максимально возможное количество груза до тех пор, пока таких циклов в плане не остается.

Можно доказать, что для любой свободной клетки невырожденной транспортной задачи существует единственный цикл, одна из вершины – в базисных клетках. Понятно, что эта свободная клетка должна быть помечена знаком «+». Количество груза, которое можно перенести по такому циклу, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла, так как если перемещать большое количество груза то возникнут отрицательные перевозки. В результате свободная клетка становится базисной, а базисная клетка, отмеченная знаком «-» и имевшая максимальное значение перевозки, становится свободной. Важно отметить, что если несколько клеток, помеченных знаком «-»,имеют одинаковое минимальное значение перевозки, то свободной клеткой может стать любая их них, а остальные клетки остаются базисными с нулевым значением перевозки. Предпочтительной свободной клеткой, из которой целесообразно строить цикл, можно считать свободную клетку с минимальным тарифом.

Такой метод нахождения оптимального решения называется распределительным.

Рассмотрим пример, представленный в таблице начальное допустимое решение найдено методом северо-западного угла и содержит 8 базисных клеток: А₁В₁, А₁В₂, А₂В₂, А₂В₃, А₃В₃, А₃В₄, А₄В₄ и А₄В₅ допустимый план невырожден и его стоимость

ПО\ПН	В1	В2	В3	В4	В5	запасы аi
А1	9 30	6 5	5	7	7	35
А2	4	5 35	- 4 5	+ 3	8	40
А3	7	6	5 +8	9 - 17	7	45
А4	8	6	7	7 6	6 19	25
Заявки b1	30	40	33	23	19	Σ=145

Среди свободных клеток наименьший тариф с₂₄ = 3. построим цикл из клетки А₂В₂. единственный цикл, который можно построить из этой свободной клетки, - это цикл, соединяющий клетки А₂В₄, А₃В₄,А₃В₃ и А₂В₃, и его стоимость q =(3 + 5) – (6 + 4) = 2. По этому циклу можно переместить

min {x₂₃, x₃₄} = 5 единиц груза, и суммарная стоимость следующего плана уменьшится на 10 единиц, т.е.

Среди свободных клеток таблицы клетки А2В1 и А2В3 имеют минимальный тариф, равный 4. однако клетку А2В3 делать базисной бессмысленно, так как эта клетка только что стала свободной. Пробуем сделать базисной клетку А2В1. Из А2В1 строится цикл, опирающийся на клетки А2В1, А1В1, А1В2 и А2В2, его цена q = (4 + 6) – (9 + 5) = -4. по циклу можно переместить min {x₁₁,x₂₂} = 30 единиц, и суммарная стоимость следующего плана перевозок уменьшится на 120 единиц т.е.

В таблице рассмотрим свободную клетку А1В3 с тарифом 5. из нее можно построить цикл, опирающийся на клетки А1В3, А3В3, А3В4, А2В4, А2В2 и А1В2. Его цена q= (5 + 6 + 5) – (6 + 5 + 3) = 2, т.е. использование этого цикла не улучшит плана перевозок.

ПО\ПН	В1	В2	В3	В4	В5	запасы аi
А1	- 9 30	+ 6 5	5	7	7	35
А2	4 +	5 - 35	4	3 5	8	40
А3	7	6	5 13	6 12	7	45
А4	8	6	7	7 6	6 19	25
Заявки b1	30	40	33	23	19	Σ=145

Вторая итерация

ПО\ПН	В1	В2	В3	В4	В5	запасы аi
А1	9	6 35	5	7	7	35
А2	4 30	5 5	4	+ 3 5	8	40
А3	7	6 +	5 13	6 - 12	7	45
А4	8	7	6	7 6	6 19	25
Заявки b1	30	40	33	23	19	Σ=145

Далее рассмотрим свободные клетки А3В2 и А4В3 с тарифом 6. клетка А4В3 порождает цикл А4В3, А3В4, А3В4, А4В4, цена которого q = 0. Клетка А3В2 индуцирует цикл, который опирается на клетки А3В2, А2В2, А2В4, А3В4; его стоимость q = (6 + 3) – ( 5 + 6) = -2, и по циклу можно переместить 5 единиц груза. Таким образом, суммарная стоимость следующего плана перевозок уменьшится на 10 единиц и станет равной 653,т.е.

ПО\ПН	В1	В2	В3	В4	В5	запасы аi
А1	9	6 35	5	7	7	35
А2	4 30	5	4	3 10	8	40
А3	7	6 5	5 13	6 7	7	45
А4	8	7	6	7 6	6 19	25
Заявки b1	30	40	33	23	19	Σ=145

Если внимательно проанализировать таблицу, то станет ясно, что среди циклов, порожденных клетками, не циклов с отрицательной цепью. Следовательно, план перевозок, полученный в таблице является оптимальным