16)) Предмет математической статистики. Точечные оценки. Свойства точечных оценок. Оценки для математического ожидания и дисперсии. Методы оценивания (метод моментов, метод наибольшего правдоподобия).

Общие черты стат. метода в различных областях знания сводятся к подсчёту числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения; количественных признаков, применению выборочного метода (в случаях, когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию тер вер при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная мат сторона стат методов исследования, безразличная к специфической природе изучаемых объектов, и сост. предмет мат стат. Точечной оценкой характеристики θ наз-ют некоторую ф-ю  результатов наблюдений, значения которой близки к неизвестной характеристике θ генеральной совокупности. Для построения оценки нужны критерии, по которым судят о её качестве.

Свойства, позволяющие разумным образом выбирать оценки.

1. Оценка  называется несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике случайной величины: ,  т. е. если она не дает систематической ошибки.

2. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений оценка сходится по вероятности к искомой величине, т. е. для любого сколь угодно малого . .  Если известно, что оценка несмещенная, то для проверки состоятельности её удобно пользоваться условием: . Если последнее условие выполнено, то из неравенства Чебышева следует, что оценка состоятельная. .

Состоятельность означает, что оценка, построенная по большому числу наблюдений, имеет меньший разброс (дисперсию), т. е. .

Точечная оценка математического ожидания:

Задана случайная величина Х: х₁, х₂, …, х_n, так как М(Х) не найти, то для математического ожидания случайной величины Х естественно предложить среднее арифметическое   её наблюденных значений.

1. По методу произведений  , , так как .

Это и означает, что оценка  несмещенная.

2. Если исследуемая случайная величина Х имеет конечную дисперсию, то эта оценка будет состоятельной, так как

Если исследуемая вел имеет норм закон распред, то можно показать, что предложенная оценка эффективна, т. е. оценки для мат ож с меньшей дисперсией не существует для нормально распределенных величин.

16)) (Продолжение)

Точечная оценка дисперсии Для дисперсии  случайной величины  можно предложить следующую оценку:

, где  — выборочное среднее. Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная. В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии используют величину

.

Метод наиб правдоподоб - метод оценивания неизв парам путём максимизации ф-ии правдоподобия. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия.

Ме́тод моме́нтов — метод оценки неизвестных параметров распределений в математической статистике, основанный на предполагаемых свойствах моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами.