7)) Случайные величины дискретные и непрерывные. Понятие о законе распределения. Примеры дискретных законов распределения (биномиальный, пуассоновский, гипергеометрический)

Случ. вел. - в рез-те испытание примет 1 возм. знач, наперёд неизвестное и зависящее от случ. причин, которые заранее не могут быть учтены.

Выпадение нек. значения случ. вел. Х – случ. событие: Х = х_i. Случ. вел. делятся на дискр. и непрер. случайные величины. Дискр. случ. вел - в рез-те испытания прин. отдельные знач. с опред. вер-ми. Число возм. Знач. дискре. случ. вел. м.б. конечным и бесконечным. Прим.: показания счетчика/градусника. Непр. случ. вел. наз-ют случ. вел., котор. в результ испытания принимает все знач. из нек. числ. промежутка. Число возм. знач. непрер. случ. вел. бесконечно. Прим.: измерение скорости транспорта за интервал времени. Зак. распред. случ. вел. наз-ся люб. правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вер-ти всевозможн. событ., связанных со случ. вел-ой. Соотв. между возм. значениями случайной величины и их вер-ми наз. Закон распределения.  дискр. случ. вел. Биномиальный закон распределения. Случ. вел. может прин. знач-я 0,1,2,…,n и каждому значению X=m соответствует вер. , где p+q=1. Этот закон распред. считается заданным, если известны числа n и p, через которые выражаются все вероятности. Случайную величину подчинённою этому закону можно назвать числом появле­нии события в n независимых опытах. Пуассоновский закон распределения. Случайная велbчина имеет возможные значения 0,1,2,3,…… и каждому значению Х=m со­ответствует вероятность ,где  - некоторый параметр, вер. смысл которого будет указан неск. стр. спустя. Гипергеометрический закон распределения. Возм. значения X: 0,1,…,n. И каждому знач. X=m соотв. вер. P(X=m)=P = .Эта случ. вел., напр, равна числу m брак. изделий среди n взятых наугад из партии объёма N, содержащей M бракованных изделий. 8))Функция распределения и ее свойства. Функция плотности вероятности и ее свойства. Функция распределения – самая универс. ха-ка сл. вел. Она сущ-ет для всех сл-ных вел: как прерывн, так и непрерывн. Ф-я распред. Полн. характер-ет сл вел с вер. т. зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Общие свойства функции распределения: 1. Функция распределения  есть неубыв. Ф-я своего аргумента, т.е. при   . 2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: . 3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: . Ф-я p(t) наз. плотн. распр. вер. непрер. сл. вел. Если такой ф-ии p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной. Зная плотность распределения, по формуле . можно ф-ю распр. F(x). И, наоборот, восстановить плотность распределения: . Св-ва плотн. распр вер непр сл вел: 1) Плотн распр – неотр ф-я: p(t)³0. Геометр-ки это означ, что график плотн. распр располож либо выше оси Ох, либо на этой оси. 2)    =1. Учитывая, что F(+¥)=1, то: =1. Т.е. площ. меж график. Плотн. распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице. 9)) Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства.

Частичн. инф-ю о сл вел дают числ ха-ки, котор в завис от рода инф делятся на след гр.

1.Ха-ки полож сл вел на числ оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)). 2. Ха-ки разброса сл вел около средн. знач-я (дисперсия D(X), средн квадратич отклонение σ(х)).

3. Ха-ки формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех). Мат ожид сл вел Х указывает нек сред зн-е, около котор группируются все возможн зн Х. Для дискр сл вел, которая мож прин лишь конечное число возм зн, мат ожид наз-ют сумму произведений всех возм зн сл вел на вер этих зн:    .      Для непрер сл вел Х, имеющей заданную плотность распред φ(x) мат ож наз-ся  след интеграл:   . Здесь предполагается, что несобственный интеграл  сходится абсолютно, т.е. существует. Свойства математического ожидания:      1. М(С) = C, где С = const;      2. M(C∙Х) = С∙М(Х);      3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины;      4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y), где X и Y – независимые случайные величины.