32. Градиентный метод

Основан на поиске производных целевой функции. Когда аналитический вид функции известен ,то производную найти легко лишь для функций с 1-ой и с 2-мя переменными.

Для сложной функции, при отсутствии аналитических зависимостей функций единственным способом определения производных являются числовые методы. Производные определяются по приближенным соотношениям:

К градиентным методам относят:

1. Метод градиента;

2. Метод релаксации;

3. Метод найскоростного спуска.

33. Использование золотой пропорции и чисел Фебоначи при конструировании МиА.

Анализируя золотую пропорцию и чисел Фебоначи, пришли к выводу о их взаимосвязи. Например, необходимо разместить в теплообменнике по концентрической окружности отверстия для трубок (или разместить пальцы дезинтегратора, дисмембратора на роторе)

Rn= 1,272ⁿ* Ro Кол-во отверстий по конц . окружности – Zn+1=1,6*Zn. Кол-во отверстий в первом ряду выбирается из ряда Фебоначи.

34. Безградиентные методы одной переменной

Общий недостаток всех градиентных методов – это большое число расчет. переменных. Безградиентные методы основаны на сравнении целевой функции. Эти методы используются тогда, когда ф-я единой переменной такая сложная, что нельзя найти оптимум методом дифференцирования. Безградиентные методы по хар-ру наиболее пригодны для оптимизации процессов при отсутствии математич. объекта управления для функции с одной переменной используются след. методы: метод локализации экстремума, метод золотого сечения, метод Фебоначи

Метод локализации экстремума

Интервал поиска [A,В] разбивается на 4 равные части и в точках разбиения и на границах интервала вычисляется значение целевой функции - в точках 0,1,2,3 и 4(рис.2). Локализуется положение экстремума (минимума) на интервале в два раза меньшем [2;4], чем предыдущий [0;4]. Полученный интервал снова делим на 4 равные части.

Локализация экстремума продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Метод "золотого сечения"

В основе этого метода лежит закон геометрического отношения или "золотого сечения". Пусть дан отрезок а, который разделен на две неравные части b и c так, что выполняется отношение:

a / b = b / c или a.c = b ² (1)

В соответствии с этим законом определяются точки исследуемого интервала, в которых необходимо производить вычисление целевой функции. Поскольку с = а – b, то подставив выражение для с в (1) и введя новую переменную k = b / a, после преобразований получим:

k² + k - 1 = 0 (2)

Решив (2), получим приближенное значение k=0.62.

П орядок поиска экстремума методом "золотого сечения" следующий. На исследуемом интервале определяются две точки X1 и X2:

X1 = Xmin + (1-k).a

X2 = Xmin + k.a

где а - длина интервала Xmax - Xmin.

В точках X1 и X2 рассчитывается целевая функция. По найденным значениям R(X1) и R(X2) с учетом R(Xmin) и R(Xmax) определяется подинтервал, в

котором локализован экстремум. В данном случае это –

[Xmin,X2]. Далее внутри подинтервала [Хmin,X2] находится точка Х3:

Х3 = Xmin + (1-k).a

где а - длина подинтервала [Xmin,X2]. Рис.4

Далее вычисляется значение целевой функции R(X3)и сравниваются значения R(X2),R(X1),R(X3). Находится минимальное значение (в данном случае R(X3) и процедура продолжается - определяется аналогично точка Х4 и т.д., пока не будет найден экстремум с заданной точностью.

Ещё один метод -- метод Фибоначчи -- применяется в тех случаях, когда заранее известно, сколько итераций мы собираемся совершить, и при этом хотим получить наибольшую возможную точность в определении точки минимума. При этом оказывается, что длины отрезков связаны с последовательностью чисел Фибоначчи , заданной начальными значениями и рекуррентной формулой