25. Условие возникновения экстремума функции

Из математики известно, что необходимым условием экстремума R^’=0 (для непрер-й функции).

1. производная=0, экстремум есть

2. производная=0, функция непрерывная но производная в местах перегиба имеет разрыв, т.е. с одной стороны одна, а с другой другая.

3. производная = , но даже условие R^’=0 это необходимое, но не достаточное условие.

Для определения настоящего наличия экстремума должны выполнятся условия:

1)исследование знаков высшей производной

2)Сравнение значений функций

A) Если Если

— есть min — есть max

Б) экстремум нет

3)сравнение знаков производных

если в пунктах и знаки производных разные то в п. есть экстремум, если одинаковы то нету.

26. Оптимальная высота падения мелющего тела

(*)

Приведем уравнения к центру координат в т.А и решим совместно с (*) и получим:

Ц елевая функция высоты , тогда αвеличина которой можно варьировать:

Отсюда следует, что

27. Оптимальная форма емкости.

Из прямоугольного листа необходимо изготовить прямоуг. емкость max объема .

_Из треугольника ABC

28. Min расход м-ла на изготовление аппаратов.

_{Необходимо найти соотношение} размеров при котором min расход при V=const

_{F-целевая ф-ия, r,h-переменые.}

29 Постановка задач линейного програмирования.

Общая задача линейного програмирования заключается в минимизации (максимизации) линейной целевой функции вида

R= c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n =

x_n – переменная; c_n – заданные постоянные коэффециенты.

На независемые переменные накладываю линейные ограничения в виде равенств или неравенств.

30 Использование линейного програмирования для оптимизации технических объектов.

Задача: завод выпускает пластмассовые изделия 2-х типов А и Б, для изделия А требуется 3 кг. полиэтилена, для изделия Б 4 кг. полиэтилена. Завод на неделе может получать 1700 кг. полиэтилена. На изделие А требуется 12 мин. а для Б 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч. суммарного времени. Изделие А приносит 2000 р. прибыли. Изделие Б 3000 р. Сколько надо выпускать изделий А и Б в неделю для получения max прибыли.

Пусть: х₁ – выпуск изделия А; х₂ – выпуск изделия Б.

R=2х₁+4х₂

Графический смысл

х₁=300 х₂=200

R=2х₁+4х₂=1400

Алгебраический смысл

(*) => х₁=300 х₂=200

Допполнительные ограничения х₁<80, х₂<100

Решение в Маткаде

Ввод целевой функции:

Присваивание:

Блок решений: Given……….

Ввод ограничений:

Функция оптимизации:

31. Cимплекс.

Этот алгебраический метод основан на использовании и преобразовании определений. Первая операция этого метода приведения задачи и стандартной формы, при которой ограничения в виде неравенства приводят к виду равенства с помощью переменных:

Полученную систему из двух уравнений с 4-мя неизвестными. Сначала приравниваем х₁ и х₂ к 0 и получим базисное решение.

Переменные прир. к 0 – небазисные, остальные базисные. Решение ур-я назыв. базисным. Далее меняем не базисные переменные:

(х₁,х₂),(х₁,х₃),(х₁,х₄),(х₂,х₄),(х₂,х₃),(х₁,х₃),(х₃,х₄)

Т.о. варианты 2 и 5 не удовлетворяют условию х≥0

	X1	X2	X3	X4
1	0	0	1700	1600	0
2	0	425	0	525	–
3	0	320	420	0	A
4	566	0	0	466	C
5	800	0	–700	0	–
6	300	200	0	0	Б

R=2x₁+4x₂

Графич. означает , что сначала мы перемещаемся по оси х₂ от 0 да А, по х₁ от 0 до С, от А и С→Б.

Если переменных n, а ограниченных m, то приравнивать к нулю необходимо n-m переменных и решать n уравнений. Графич. это многоугольник в n – мерном пр-ве, кот.имеет n+1 переменных и называемой симплексом.

Суть симплекс метода: по известным значениям целевой функции в вершинах многогранника находим напр-е, в кот. нужно сделать след. шаг, что бы получить наиболее увелич.(уменьш.) критерия оптимальности.

Основные свойства симплекса – напротив любой вершины распологается только одна грань, но кот.можно построить новый симплекс с новой вершиной, а ост-е его вершины совпадают с предыдущими.

Рассмотрим построение симплекса на примере комка R_min 2-xпеременных. Рассчит. целевая ф-я в вершинах ∆ и выбир. max значение (R₁₀), строится новый симплекс с вершинойR₁₂путем проведения прямой через центр отрезка R_{20 ,}R₃₀ (R₁₀A=R₃₀A). Для R₁₂рассчит. значение целевой ф-ции и сравнивают его R₂₀ ,R₃₀, Из max значений строим след.вершину.

Т ак и далее, отбрасывается maxзначение ф-ции, покацелевая ф-ция не станет min.