5. Адекватность математической модели

Математическая модель – это аналог объекта с рядом допущений, значения переменных, полученных на моделях и реальных объектах всегда отличаются. Заключительной стадией моделирования определение адекватности. Проблемы Проблема сравнения возникает из-за неточности экспериментов на реальном объекте и большой разнице в экспериментальных данных. Экспериментальный параметр можно считать случайной величиной Весомым параметром который можно использовать является среднее значение случайной величины.

Оно называется математическим ожиданием:

N – количество параметров.

Обычно случайные величины распространяются по нармальному закону Гаусса.

Большое влияние оказывает откланение параметров X от среднего значения и этот факт необходимо учитывать. Учет осуществляеться таким параметром как дисперсией среднего откланения случайной величины от матиматического ожидания

Обычно используется выборочная дисперсия:

Где φ – число стипеней свободы, φ= n – p, p – количество предварительно посчитанных параметров p=1(X).

С учетом дисперсии критерием адекватности мадели обычно принимаеться критерий Фишера.

N – Количество по экспериментальных значений, взятых для сравнения с расчетными, n – количество всех экспериментов значений, взятых для определения X, x_i, x_j – экспериментальные параметры. X_p – расчетный параметр.N<n.

Далее расчетные значения критерия Фишера сравнивается с табличными. Если ϕ_p<ϕ_т, то S_ад² и S_вос²отличаються друг от друга и модель считается адекватной.

6.Метод наименьших квадратов

Этот метод используется для обратных задач моделирования, сущность его в том, что вид уравнения математического опи. Задаётся, а неизвестные коэффициенты уравнения определяются с использованием экспериментальных данных.

Например, мы задаем экспериментально функции y_i в зависимости каждого от n значений параметров x_i.

Связь между функцией и параметрами задаем линейным законам:

Тогда по экспериментальным данным можно записать уравнение.

Система условных уравнений.

Обычно m>n.

В дальнейшем принимаем грубо приближенные значения коэффициентов: а^’, b^’, k^’.

A=a^’+δ₁

B=b^’+δ₂

K=k^’+δ_n

Где δ – отклонение от средних значений.

Соответственно можно поминять расчетные значения y:

Метод наименьших квадратов заключается в том, что сумма квадратов разницы y_i и y^’ будем min.

y_i – экспериментальное значение.

y^’ – расчетное значение

Для поиска S_minопределяем частные производства приравниваем их к нулю.

После преобразования получаем систему нормальных уравнений.

Остальная часть формулы на бумажки у преподавателя.*******

x	-3	-1	1	3
y	5	1	-2	-3

Принимаем, что x₀=1 при b₀.Задаемся уравнением.

b₀= - 0,69; b₁= - 1,35; b₂=0,19

Подставив в исходное уравнение;

7.Корелляция химической техники

В процессе экспериментов часто получается так.что функц. зависимости одному значению х соответствует несколько значений y. Распределение y изменяется в некотором соответствующим образом при изменении х. В этом случае говорят о корреляционной связи.

Е сть некоторое поле распределения , причем каждому значению х не соответствующих конкретных значений у.

Силы нанести на график - среднее значение, то можно провести прямую АВ, которая наилучшим образом выравнивает среднее значение. Линия АВ называется линией регрессии у по х.

_{Для того, чтобы прямая АВ наилучшим образом выравнивала среднее значение у, необходимо чтобы выполнялось условие:}

_{j-количество экспериментальных пунктов у.}

_{Аналогично определяются линии регрессии х по у - среднее.}

Они не совпадают (АВ и CD)

Наиболее важными показателями корреляции связи является коэффициент корреляции, который характеризует степень линейной связанности х и у.

Обычно r< 1. Когда r = 1 прямые регрессии совпадают и это значит, что х и у в равной мере связаны линейно. Когда r=0 линейной связи между х и у не существует.

Имеем х_i и у_i как набор экспериментальных значений и среднеарифметических значений . Тогда

_{- отклонение от средних значений}

_{Тогда среднеквадратическое отклонение}

Тогда коэффициент корреляции равен:

Приведем уравнение регрессии к следующему виду:

Порядок получения модели следующий:

1. Рассчитывается .

2. Рассчитывается .

3. Рассчитывается r.

4. Определяется коэффициент регрессии , .

5. Записывается уравнение 1-го вида

6. Подставив значение, получим