5.2. Одноканальная смо

Первый этап создания любой имитационной модели – этап описания реально существующей системы в терминах характеристик основных событий. Эти события, как правило, связаны с переходами изучаемой системы из одного возможного состояния в другое и обозначаются как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий.

Для наглядности иллюстрации идеи использования основных событий в имитационном моделировании рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Как правило, целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы. Характеристики самого процесса массового обслуживания могут изменять свои значения либо в момент поступления новой заявки на обслуживание, либо при завершении обслуживания очередной заявки. К обслуживанию поступившей заявки СМО может приступить немедленно (канал обслуживания свободен), но не исключена необходимость ожидания, когда заявке придется занять место в очереди (СМО с очередью, канал обслуживания занят). После завершения обслуживания очередной заявки СМО может сразу приступить к обслуживанию следующей заявки, если она есть, но может и простаивать, если таковая отсутствует. Необходимую информацию можно получить, наблюдая различные ситуации, возникающие при реализациях основных событий. Так, при поступлении заявки в СМО с очередью при занятом канале обслуживания длина очереди увеличивается на единицу. Аналогично длина очереди уменьшается на единицу, если завершено обслуживание очередной заявки и множество заявок в очереди не пусто.

Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть микросекунда, час, год и т.д. Так, например, при моделировании процесса функционирования крупного аэропорта в качестве единицы времени, как правило, используют минуту, а при моделировании процесса эволюции в изолированной популяции – среднюю продолжительность жизни одного поколения.

Для иллюстрации принципа эксплуатации имитационных моделей приведем простейший типовой пример.

Пример 3. Рассмотрим одноканальную СМО с простейшим входным потоком заявок и интенсивностью (заявки в час). Время обслуживания одной заявки с вероятностью 0,5 равно 0,2 ч и с вероятностью 0,5 равно 0,6 ч. Заявки обслуживаются в порядке поступления. Длина очереди и источник заявок не ограничены. Предполагается, что в начальный момент времени канал обслуживания свободен и в очереди нет ни одной заявки.

Для простейшего входного потока заявок с интенсивностью (заявки в час) длительность временного интервала между двумя последовательно поступившими заявками – случайная величина , распределенная по экспоненциальному закону с параметром . Если – реализация случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1], то реализация длительности временного интервала между двумя последовательно поступившими заявками определяется следующим образом:

А так как по условию с вероятностью 0,5 время обслуживания одной заявки равно либо 0,2 ч, либо 0,6 ч, то реализация времени обслуживания равна:

В рассматриваемой СМО возможны два основных события: поступление заявки и уход заявки из системы в связи с окончанием обслуживания. Действия, связанные с этими событиями, можно охарактеризовать следующим образом.

1. Действия, связанные с поступлением заявки в СМО:

1. Генерация момента поступления следующей заявки на обслуживание;

2. Проверка состояния системы (процесс обслуживания или простой);

2. Действия по окончании обслуживания заявки в системе.

Одноканальная система начинает работать при пустой очереди и свободном канале обслуживания, т.е. ее функционирование начинается с простоя. Время поступления первой заявки на обслуживание моделируется псевдослучайным числом, взятым, например, из таблицы :

(далее псевдослучайные числа извлекаются из этой таблицы по порядку). Таким образом, в момент времени происходит событие, состоящее в поступлении заявки на обслуживание. Вычисляем время следующей заявки:

Поскольку в начальный момент времени система простаивает, то в момент времени начинается обслуживание первой заявки. Время обслуживания равно т.е. время окончания обслуживания равно

Система объявляется работающей, а время простоя корректируется:

Следующее по времени событие связано с поступлением заявки на обслуживание в момент времени Так как в это время происходит обслуживание первой заявки, то поступившая заявка становится в очередь, длина которой корректируется:

Следующая заявка поступает в момент времени

А так как система все еще обслуживает первую заявку, то длина очереди увеличивается:

Далее определяется время поступления следующей заявки:

А так как система все еще обслуживает первую заявку, то длина очереди увеличивается:

Определим время поступления следующей заявки:

Полезно отмечать новые события на рисунке по мере их реализации (на рисунке 17 символ обозначает поступление заявки, символ – время окончания обслуживания заявки).

    

0 0.31 0.55 0.7 0.85 0.91 t

Рисунок 17. События в СМО

Следующее событие наступает в момент времени и представляет собой окончание обслуживания первой заявки. А так как очередь не пуста, то начинается обслуживание следующей заявки и корректируется длина очереди:

При этом суммарное время ожидания обслуживания равно

а время обслуживания второй заявки равно Таким образом, обслуживание второй заявки завершится в момент времени

Процедура повторяется до тех пор, пока не будет промоделирован весь отрезок времени функционирования одноканальной СМО. При этом можно определить оценки основных характеристик этой системы и установить зависимость их качества от величины , т.е. от длительности времени моделирования процесса функционирования системы.