Физический маятник

Цель работы – изучение физического маятника, определение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, измерительная система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый фиксатор.

Краткая теория

Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси O (рис. 1).

Рис. 1. Физический маятник

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения.

.

I β = М , (1)

где I – момент инерции маятника;

– угловое ускорение, φ – угол отклонения маятника от положения равновесия, М - сумма проекций моментов сил на направление оси вращения. Если момент сил трения много меньше момента силы тяжести, то

M= -mga×sinj ,, (2)

где т – масса маятника, g –- ускорение свободного падения, а –- расстояние от оси вращения до центра тяжести.

Уравнение движения (1) с учетом (2) примет вид

Ij = -mga×sinα

где ω_о² = (mga)/I , тогда получим уравнение:

. (3)

Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением относительно функции φ(t).

Если амплитуда колебаний физического маятника не мала, дифференциальное уравнение (3) не будет линейным. Для больших углов отклонений маятника период Т начинает зависеть от амплитуды колебаний φ_{m .} Эту зависимость можно представить суммой бесконечного ряда, первые слагаемые которого равны

. (4)

При малых колебаниях угол φ мал, поэтому sin φ ≈ φ и уравнение (3) становится дифференциальным уравнением гармонических колебаний

. (5)

Решение этого уравнения:

j = j_mcos(ω₀t + α), (6)

где α - начальная фаза колебаний, ω_о = 2π/Т - циклическая частота колебаний.

Запишем формулу периода малых колебаний, как

(7)

Получим зависимость периода малых колебаний от расстояния а. Момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен

, (8)

где I_с - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Подставляя (8) в (7), получим

(9)

Согласно этой формуле период колебаний Т одинаков при двух различных значениях а (рис. 2): Т₁ = Т₂ при

, откуда

. (10)

Подставим (10) в формулу (9). Получим

(11)

Величина (12)

называется приведенной длиной физического маятника.

Сравнивая формулы (11) и (7) получим

(13)

Формула для периода малых колебаний маятника будет иметь следующий вид

. (14)

В данной работе с помощью физического маятника находится ускорение свободного падения g, которое исходя из уравнения (14),

. (15)

Приведённая длина — это условная характеристика физического маятника. Она численно равна длине математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника.

Приведенная длина находится из формулы (12), в которой а₁ и а₂ определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.

Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т.

Рис. 2. Зависимость периода колебаний маятника от параметрa a

На рисунке приведенная длина маятника L_np = a_{1 +} a₂ равна расстоянию между точками А ̀В или В̀ А.

Билет 17) Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты. Векторные диаграммы. Биения.

СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту. Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали. Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.

Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.